الدوران

يعملُ الدورانُ على تحريكِ كلِّ نقطةٍ في الشكلِ الأصليِّ بزاويةٍ محددةٍ واتجاهٍ محددٍ حولَ نقطةٍ ثابتةٍ تُسمّى مركزَ الدورانِ معَ المحافظةِ على أبعادِ الشكلِ الأصليِّ وزواياهُ.

يمكنُ استعمالُ ورقةٍ شفّافةٍ لرسمِ صورةِ شكلٍ تحتَ تأثيرِ دورانٍ بزاويةٍ مُحدَّدةٍ حولَ مركزِ دورانٍ.

مثال1:أستعملُ ورقةً شفّافةً لرسمِ صورةِ $\mathbf{∆}\mathbf{ABC}$في الشكلِ المجاورِ الناتجةِ منْ دورانِ مركزِهِ نقطةُ الأصلِ بزاويةِ (°90) عكسَ عقاربِ الساعةِ، ثمَّ أكتبُ إحداثياتِ رؤوسِ الصورةِ$\mathbf{∆}\mathbf{A}\mathbf{\text{'}}\mathbf{B}\mathbf{\text{'}}\mathbf{C}\mathbf{\text{'}}$

الخطوةُ 1: أرسمُ رؤوسَ المثلثِ على ورقةٍ شفّافةٍ.

أضعُ الورقةَ فوقَ المثلثِ بحيثُ تغطّي أيضًا مركزَ الدورانِ، ثمَّ أرسمُ بالقلمِ رؤوسَ المثلثِ وأضعُ إشارةً فوقَ محورِ x الموجب 

الخطوةُ 2: أُدوِّرُ الشكلَ، ثمَّ أُحدِّدُ رؤوسَ الصورةِ.

أضغطُ برأسِ القلمِ عندَ مركزِ الدورانِ(نقطةُ الأصلِ)، ثمَّ أُدوِّرُ الورقةَ بزاويةِ  (°90) عكسَ عقاربِ الساعةِ، بحيثُت نطبقُ الإشارةُ الّتي رسمتُها على محورِ y الموجب ثم أُحدِّدُ رؤوسِ الصورةِ.  

الخطوةُ 3: أرسمُ الصورةَ.

أرسمُ الصورةَ بالتوصيلِ بينَ إحداثياتِ رؤوسِها، ثمَّ أُسمّيها $∆\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}$

إحداثياتُ رؤوسِ الصورةِ $∆\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}$ هي $\mathrm{A}\text{'}(-3, 3), \mathrm{B}\text{'}(1, 1), \mathrm{C} \text{'}(2, 3)$

 

مفهومٌ أساسيٌّ:

عندَ دورانِ النقطةِ (a,b) حولَ نقطةِ الأصلِ، فإنَّ إحداثيَّيْها يتغيرانِ بحسبِ القواعدِ الآتيةِ: 

• الدورانُ بزاويةِ (°90) عكس عقاربِ الساعةِ أو (°270 مع عقاربِ الساعةِ):

$\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\to }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{)}$

• الدورانُ بزاويةِ (°180) عكس عقاربِ الساعةِ أو (°180 مع عقاربِ الساعةِ):

$\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\to }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}$

• الدورانُ بزاويةِ (°270) عكس عقاربِ الساعةِ أو (°90 مع عقاربِ الساعةِ):

 $\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{\to }\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{b}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{a}\mathbf{)}$

 

مثال 2: أرسمُ في المستوى الإحداثيِّ المربّعَ الذي إحداثياتُ رؤوسِهِ $\mathbf{A}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{B}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{C}\mathbf{(}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{D}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{)}$ ثمَّ أجدُ صورَتَهُ تحتَ تأثيرِ: 

1) دورانٍ مركزُهُ نقطةُ الأصلِ بزاويةِ ° 270 مع عقاربِ الساعةِ.

أبدِّلُ موقعَ الإحداثيّاتِ (x,y) ثمَّ أضرِبُ y في 1-

(−y , x)	(x , y)
A' (−2, 0)	A (0, 2)
B ' (−2, 2)	B (2, 2)
C ' (−4, 2)	C (2, 4)
D' (−4, 0)	D (0, 4)

 

يكونُ الشكلُ ذا تماثلٍ دورانيٍّ إذا عادَ إلى وضعِهِ الأصليِّ مرَّتيْنِ أوْ أكثرَ في أثناءِ تدويرِهِ بزاويةِ(°360) (دورةٌ كاملةٌ) حولَ مركزِهِ. 

تُعرَّفُ رتبةُ التماثلِ الدورانيِّ: بأنَّها عددُ المرّاتِ التي يعودُ فيها الشكلُ ذو التماثلِ الدورانيِّ إلى وضعِهِ الأصليِّ خلالَ دورةٍ كاملةٍ حولَ مركزِهِ.

مثال 3 أُحدِّدُ إذا كانَ الشكلُ ذا تماثلٍ دورانيٍّ أمْ لا، ثمَّ أُحدِّدُ رتبةَ الدورانِ (إنْ وُجِدَتْ) في كلٍّ ممّا يأتي:

1)  

 

الشكلُ ذو تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ أربعَ مرّاتٍ عندَ تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ. إذنْ، رتبةُ التماثلِ الدورانيِّ هيَ 4

2)

الشكلُ ليسَ ذا تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ مرَّةً واحدةً فقطْ عندَ  تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ

3)

الشكلُ ذو تماثلٍ دورانيٍّ؛ لأنَّهُ يعودُ إلى وضعِهِ الأصليِّ ثلاث مرّاتٍ عندَ تدويرِهِ بزاويةِ (° 360) حولَ مركزِهِ. إذنْ، رتبةُ التماثلِ الدورانيِّ هيَ3