الحركة في بعدين

   تمهيد:

  الحركة في بعدين تعني أن لسرعة الجسم مركبتين متعامدتين من  دون اعتماد

  احداهما علي الاخرى. مثل حركه كرة او قذيفة مقذوفة  بزاوية.  

الإزاحة في بعدين

يبين الشكل طريقا افقيا متعرجا تسير عليه دراجة ويمثل فيه المحور(x) الشرق والمحور (y+) اتجاه

الشمال، اذا تحركت دراجة من الموقع(p) إلى الموقع(Q) على المسار المنحني في مدة زمنية ( $∆t$ )

يمكن وصف تلك الحركه استخدام مفهومي الازاحة والسرعة  المتوسطة  للدراجة.

حيث يمكن تحليل متجه الموقع  الى مركبتين متعامدتين هما x_{1 و} y_1. وأن متجه الموقع الثاني يمكن

تحليله الى مركبتين متعامدتين x ₂ و y₂ وبذلك يكون التغير في الموقع (الازاحة) $\mathit{d}\mathbf{=}\mathbf{∆}\mathit{R}$  يعطى

بالعلاقة التالية:

$\mathit{d}\mathbf{=}\mathbf{△}\mathit{R}\mathbf{=}{\mathit{R}}_{\mathbf{2}}\mathbf{-}{\mathit{R}}_{\mathbf{1}}$

ومن الشكل نلاحظ  وجود مركبة ازاحة  افقية باتجاه الشرق ( +X ): $d_x=x_2-x_1$

و مركبة  ازاحة  عمودية  باتجاه الشمال( +y ):$d_y =y_2 -y_1$

والسرعة المتجة المتوسطة للدراجة ومركبتاها فتعطى بالعلاقة:

$\overline{\mathbf{v}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{d}}{\mathbf{∆}\mathbf{t}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\overline{{\mathbf{v}}_{\mathbf{x}}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{x}}}{\mathbf{∆}\mathbf{t}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\overline{{\mathbf{v}}_{\mathbf{y}}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{d}}_{\mathbf{y}}}{\mathbf{∆}\mathbf{t}}$ 

عند قذف جسم في اتجاه يصنع زاوية( $\theta$ )مع الافق  فانه يتحرك في مسار منحن كما في الشكل المجاور

وتكون هذه الحركة في بعدين بحيث تتغير احداثيات الحركة على المحور الافقي(x) والمحور الراسي(y) في

اللحظه نفسها. عندها نستخدم معادلات الحركة بتسارع ثابت في وصف حركه المقذوفات ونطبقها بصورة

 مستقلة على المحور الراسي وعلى المحور الافقي. 

مثلا عند رمي كرة إلى  الأعلى في اتجاه يصنع زاوية( $\theta$ )مع الافق فان السرعة الابتدائية للكرة يمكن تحليلها

الى مركبتين متعامدتين كما في الشكل وتعطى مركبات السرعة بالمعادلتين الاتيتين:

المركبة الافقية للسرعة  الابتدائية:  $v_{\circ x}=v_{\circ } cos\theta$

المركبة الرأسية للسرعة الابتدائية: $v_{\circ y}=v_{\circ }sin\theta$

تستمر الكره في حركاتها منذ لحظه اطلاقها نقطة(0،0 ) الاسناد في مسار منحن حتى تصل

ارتفاع(h) ثم تعود الى الاسفل. وفي أثناء ذلك لا توجد قوه مؤثرة في الكرة في الاتجاه الافقي

فيكون فان التسارع الافقي يساوي صفرا ، وبالتالي تبقى المركبة الافقية  للسرعة  ثابتة المقدار

والاتجاه. كما أشهد في المشهد المتحرك المجاور.

أما في الاتجاه الراسي تتاثر الكره بقوة  الجاذبية الارضية التي تؤدي الى حركتها بتسارع السقوط

الحر(g=9.8m/s²) بإهمال قوة الاحتكاك نحو مركز الأرض وبالتالي يتناقص مقدار السرعة العمودية

  أثناء صعود الجسم حتى تصبح صفرا عند أقصى ارتفاع ثم  يتزايد مقدارها في مرحلة الهبوط.

  أي السرعة الرأسية للمقذوف عند أقصى ارتفاع تكون ($v_{ y }=0$  )،  كما أشهد في الشكل المتحرك

 المجاور.

    المركبة  الأفقية لسرعة  المقذوف ثابتة  المقدار

     المركبة  الراسية نحو الأعلى تتناقص تدريجياً حتى تصبح

       صفر  عند أقصى ارتفاع، تبدا بالتزايد عند الهبوط

       نحو الأسفل.

مثال 12

ركل لاعب كرة بسرعة ابتدائية (22.5m/s) في اتجاه يصنع زاوية(53⁰) مع الأفق .باهمال مقاومة الهواء. جد:

أ. اقصى ارتفاع تصل اليه الكرة.

ب. زمن تحليق الكرة حتى تعود الى سطح الارض.

ج. المدى الافقي للكرة.

المعطيات:

المطلوب:(?=R)  (?=h) (?=T)

الحل:

نحلل السرعة الابتدائية إلى مركبتين؛ أفقية ورأسية للتعامل مع الحركة عن طريق  كل مركبة بصورة منفصلة

$$\begin{gathered} v_{\circ x}=v_{\circ }\cos \theta =22.5 \cos 53=22.5\times 0.6=13.5m/s \\ {v}_{\circ y}=v_{\circ }\sin \theta =v_{\circ }\sin 53=22.5\times 0.8= 18m/s \end{gathered}$$

أ. لإيجاد أقصى ارتفاع تصل اليه الكرة (h) استخدم المعادلة الثالثة  للحركة ، علما أن المركبة الرأسية 

للسرعة عند  أقصى ارتفاع تساوي صفرا  وأن الاتجاه للاعلى موجب ونحو الأسفل سالب وبالتالي

نعوض التسارع بإشارة سالبة (a= -g)

$$\begin{gathered} v_2^2=v_1^2+2ad \\ {v}_y^2=v_{\circ y}^2-2gh \\ 0={18}^2-2\times 9.8\times h \\ 0=324-19.6h \\ -324=-19.6h \\ h=\frac{324}{19.6}=16.5m \end{gathered}$$

ب٠ لمعرفه زمن تحليق الكره حتى تعود الى سطح الارض T يجب ايجاد زمن الصعودt_h باستخدم

المعادلة الأولى للحركة من لحظة الاطلاق الى أقصى ارتفاع.

$$\begin{gathered} v_2={v_1}_{}+a{t}_h \\ {v}_y={v_{\circ }}_y-g{t}_h \\ 0= 18-9.8\times t_h \\ -18=-9.8t_h \\ {t}_h=\frac{18}{9.8}=1.84m/s. \\ T=2t_h=2\times 1.84=3.68m/s \end{gathered}$$ 

  ج- المدى الافقي للكرة R نستخدم السرعة الافقية حسب المعادلة:

                                                   $R=T\times v_x=3.68\times \times 13.5=49.68m$ 

أتتحقق صفحه68: بناء على العلاقات السابقة استنتج العوامل التي يعتمد عليها المدى الأفقي

للمقذوف.من العلاقة يعتمد المدى الافقي R على زمن التحليق، وسرعة الانطلاق الابتدائية ، وزاوية

الاطلاق. الشكل المجاور يوضح هذه العوامل.

المقذوف الافقي:

عند قذف جسم في اتجاه أفقي( $\theta =0$ ) من مكان مرتفع عن سطح الارض ، كما في الشكل  فان  مركبتي السرعة الابتدائية تكونان

  كما ياتي:

قذفت كره التنس ارضي من سطح طاولة كما في  الشكل معتمدا البيانات الواردة في الشكل جد

ا٠ زمن وصول الكره الى الأرض

ب٠ المدى الافقي للكره

ج. مقدار السرعه النهائيه للكره محددا اتجاهها.

  المعطيات:

  $(g=9.8m/s^2),( v_{\circ }=2m/s) , (\theta =0), (h=-1.5m )$

    ملاحظة: نعوض  الازاحة ( الارتفاع) سالبا لانه للأسفل. 

  الحل: 

         أ. زمنُ وصولِ الكرةِ إلى الأرضِ يعتمدُ على الحركةِ في المستوى الرأسيِّ، حيثُ  $\theta =0$:

                                        $$\begin{gathered} h=v_{\circ y}+\frac{1}{2}a{t}^2 \\ h =0-\frac{1}{2}g{t}^2 \\ {t}^2=\frac{2h}{-g} \\ t=\sqrt{\frac{2h}{-g}}=\sqrt{\frac{2\times -1.5}{-9.8}}=+\sqrt{0.3 }=0.55s \end{gathered}$$  

     يُلاحَظُ أنَّ اتجاهَ كلٍّ منَ التسارُعِ والإزاحةِ هوَ نحوَ الأسفلِ بعكسِ الاتجاهِ الموجبِ؛

      لذا عُوِّضَتِ الإشارتانِ السالبتانِ، حيثُ:

                                                   $a =-g =-9.8m/s^{2 } , h=-1.5m$   

      ب-  المدى الأفقيُّ للكرةِ يعتمدُ على المُركَّبةِ الأفقيةِ والزمنِ:

                                                         $R= v_{\circ }t=2\times 0.55=1.1m$     

    ج. ج . مقدارُ السرعةِ النهائيةِ للكرةِ:       

                                  $$\begin{gathered} v_x=v_{\circ }=2m/s \\ {v}_y=v_{\circ y}+at \\ =0+-9.8\times 0.55=-5.39m/s \\ v=\sqrt{{v_x}^2+v_y^2}=\sqrt{{(-5.39)}^2+(2{)}^2}=5.7m/s \end{gathered}$$     

          الإشارةُ السالبةُ تعني أنَّ اتجاهَ المُركَّبةِ الرأسيةِ للسرعةِ النهائيةِ هوَ إلى الأسفلِ

             بعكسِ الاتجاهِ الموجبِ 

           واتجاهُ السرعةِ النهائيةِ للكرةِ، كما في الشكلِ ( 16 ) ، بحيثُ يَصنعُ زاويةً معَ محورِ (+X )

          ، بعكسِ اتجاهِ دورانِ عقاربِ الساعةِ، مقدارُها ( Ф  ):

                               $\tan \varphi = \frac{v_y}{v_x}= \frac{-5.39}{2}=-2.69\to \varnothing = 290.4^{\circ }$             

الحركة الدائرية المنتظمة هي  حركه الجسم في مسار دائري نصف قطره (r) بسرعة  ثابتة المقدار ولكن متغيرة

الاتجاه.وبما ان اتجاه السرعة متغير فان لهذا الجسم تسارعا يسمى  تسارعا مركزيا ويرمز اليه بالرمز (a_c) ويكون

اتجاه دائما نحو مركز المسار الدائري ،  كما في الشكل المقابل  الذي يمثل كرة  مربوطة تتحرك  بخيط في مسار

دائري افقي نصف قطره (r)

نلاحظ من الشكل متجهات السرعة والتسارع المركزي عند نقاط

مختلفة من المسار الدائري لحركة الكرة ، حيث يتعامد متجه التسارع

المركزي باستمرار مع متجه  السرعة  الذي يكون دائما باتجاه

المماس للدائرة  لذلك تسمى السرعة بالسرعة  المماسية.

من الامثلة على الحركة الدائرية المنتظمة حركه نقطة مرسومة على

طرف مروحة تدور، و حركه سيارة بسرعة ثابتة  المقدار في مسار

دائري، وحركة  بعض الاقمار الصناعية حول الارض.

عند دراسة الحركة  الدائرية المنتظمة فاننا نعتبر نقطة الاسناد المرجعية هي مركز المسار الدائري.

ومن المفاهيم المهمة المتعلقة بالحركة الدائرية ؛ الزمن الدوري (T)  وهو الزمن اللازم ليكمل الجسم

دورة كامله حول مركز الدوران ويقطع الجسم مسافة بمقدار طول محيط المسار الدائري($2\pi r$ )

أما السرعة القياسية المتوسطة v_s فتحسب بقسمة طول المسار الدائري (محيط الدائرة) على  الزمن الدوري.

${\text{v}}_s=\overline{v_s} =\frac{2\pi r}{T}$

وبما أنها ثابتة المقدار فان السرعة القياسية المتوسطة تساوي السرعة القياسية اللحظية.

  ويعطي التسارع المركزي للحركة الدائرية المنتظمة بالعلاقة التالية:

$a_c =\frac{{v_{s }}^2}{r}$ 

اتحقق صفحه 72:مستخدما العلاقة الرياضية للتسارع المركزي ومعتمدا وحدتي

قياس السرعة ونصف القطر اجد وحدة قياس التسارع المركزي.

الحل: نكتب قانون التسارع ونعوض وحدة السرعة m/s ونصف القطر m فيه

       في علاقة  التسارع  الركزي كما العلاقة  المجاورة.

مثال 14:

يدور قمر صناعي حول الارض على ارتفاع(8420km) عن مركز الارض في مسار دائري تقريبا بسرعة

ماسية ثابتة  المقدار كما في الشكل. فاذا علمت أن الزمن الدوري له(129min)  جد مقدار :

أ . سرعته المماسية.

ب. تسارعه المركزي.

المعطيات: نحول الزمن الدوري من دقائق min الى ثواني T=129×60=7740s

نصف القطر r=8.42×10⁶  m

الحل:

أ.مقدار السرعة المماسية للقمر الصناعي:

${\text{v}}_s=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\times 3.14\times 8.24\times {10}^6}{7740}=6832m/s$

 ب. مقدار التسارع المركزي لهذا القمر:

$a_c=\frac{v_s^2}{r}={\frac{{\left(6832\right)}^2}{6.42\times {10}^6}}^{ }=5.54 m/s^2$