الجهد الكهربائي لموصل مشحون

الجهد الكهربائي لموصل كروي مشحون
Electric Potential of a Charged Spherical Conductor
عندما يكتسب موصل معزول شحنة كهربائية فائضة؛ فإنّ 

الشحنات تتباعد عن بعضها وتستقر على السطح الخارجي

للموصل؛ بحيث تكون قوى التنافر بينها أقلّ ما يكون، ويختلف

توزيع الشحنات حسب شكل الموصل، فإذا كان شكل الموصل

غير منتظم كما في الشكل ( 14 )؛ فإنّ الكثافة السطحية للشحنة

تكون أكبر عند الرؤوس المدببة؛ حيث تتقارب الشحنات وكذلك

خطوط المجال الكهربائي، وإذا كان الموصل منتظم الشكل مثل

الموصل الكروي في الشكل ( 15 )؛ فإنّ الكثافة السطحية للشحنة

تكون ثابتة؛ إذ تتوزّع الشحنات بانتظام وكذلك خطوط المجال

الكهربائي.

الشكل ( 14 ): توزيع الشحنات وخطوط

المجال الكهربائي لموصل مشحون غير

منتظم الشكل.

الشكل ( 15 ): توزيع الشحنات وخطوط المجال

 الكهربائي لموصل كروي مشحون.

الجهد الكهربائي خارج موصل كروي مشحون
Electric Potential Outside a Charged Spherical Conductor
عند حساب الجهد الكهربائي الناشىء عن موصل كروي مشحون

بشحنة $Q$؛ فإنّنا نُعدّ الشحنة كأنّها مجمّعة في مركز الموصل.

وعليه، فإنّ جهد أيّ نقطة مثل A تبعد مسافة ( $r>R$) عن مركز

موصل كروي مشحون بشحنة $Q$ كما في الشكل ( 16 ) يُعطى

 بالعلاقة:

                                $V = k \frac{Q}{r}$
حيث $r$ : بُعد النقطة عن مركز الموصل الكروي وتقع خارجه.

الشكل ( 16 ): الجهد الكهربائي لموصل  كروي.

الجهد الكهربائي على سطح موصل كروي مشحون
Electric Potential at the Surface of a Charged Spherical Conductor
بما أنّ الشحنات مستقرّة على سطح الموصل كما في الشكلين

( 14 - 15 )، ما يعني أنّ القوّة المحصّلة المؤثّرة في كلّ شحنة

تساوي صفرًا، وبما أنّ خطوط المجال الكهربائي خارج الموصل

تكون عمودية على سطح الموصل؛ فإنّ المجال الكهربائي لا يبذل

شغلًا عند نقل شحنة من نقطة مثل a إلى أُخرى مثل b على

سطح الموصل في الشكل ( 15 ). وعليه، فإنّ فرق الجهد بين أي

نقطتين على سطح الموصل يساوي صفرًا، ما يعني أنّ النقاط

جميعها على سطح الموصل لها الجهد نفسه. وبتطبيق العلاقة:

                                 $V = k \frac{Q}{r}$
على أي نقطة على سطح الموصل الكروي

   عند ( $r =R$ )؛ فإنّ الجهد الكهربائي يعطى بالعلاقة:
                                 $V = k \frac{Q}{R}$
حيث  $V$: جهد نقطة على سطح الموصل يُساوي جهد الموصل.
         $Q$ : شحنة الموصل الكروي.
         $R$ : نصف قطر الموصل.

الجهد الكهربائي داخل موصل كروي مشحون
Electric Potential Inside a Charged Spherical Conductor
إنّ استقرار الشحنات على السطح الخارجي للموصل الكروي،

يجعل المجال الكهربائي داخله يساوي صفرًا ( E = 0 )، وهذا يعني

أنّ الشغل الذي يبذله المجال لنقل شحنة نقطية بين أيّ نقطتين

داخل الموصل مثل ( D ،C ) في الشكل ( 16 )، أو من نقطة داخل

الموصل مثل ( D) إلى نقطة على سطحه (B) أو العكس يساوي

صفرًا. وبما أنّ الشغل يُعطى بالعلاقة: W = qΔV ؛ فإنّ فرق

الجهد بين أيّ من تلك النقاط (مثل C، و D، و B) يساوي صفرًا،

بمعنى أنّ جهد أيّ نقطة داخل الموصل أو على سطحه ( $r\le R$ )

  يكون ثابت، ويُعطى بالعلاقة:    $V = k \frac{Q}{R}$

يتغيّر المجال الكهربائي بتغيّر بُعد النقطة عن مركز موصل كروي

مشحونومعزول؛ كما في الشكل ( 17 /أ).  والمجال الكهربائي  عند 

 داخل الموصل ( $r<R$ )  يساوي صفر.  

فهل يتغيّر الجهد الكهربائي بالكيفيةنفسها؟

يُبيّن الشكل ( 17 /ب) كيف يتغيّر الجهد الكهربائي بتغيّر بُعد

النقطة عن مركزالموصل؛ إذ يبقى الجهد ثابتًا من مركز الموصل

حتى سطحه، ثم يبدأبالتناقص تدريجيًّا مع زيادة المسافة.

الشكل ( 17 ): العلاقة بين كل من.

 أ . المجال الكهربائي والبُعد عن مركز الموصل. 

ب . الجهد الكهربائي والبُعد عن مركز الموصل.

مثال محلول 8

كرة من الألمنيوم نصف قطرها (6 cm)، موضوعة في الهواء

ومشحونة بشحنة (Q = -12 μC) كما في الشكل (18). 

 أجد الجهد الكهربائي عند كلّ من النقطتين .(b,c).

الحل: 

بعد النقطة b عن مركز الموصل:

$$\begin{gathered} r = R + d = 6 + 9 = 15 cm \\ V_b = k \frac{Q}{ r} = 9 \times {10}^9 \frac{-12 \times {10}^{-6}}{15 \times {10}^{-2} } = -7.2 \times {10}^5 V \\ {V}_c= k \frac{Q}{R} = 9 \times {10}^9 \frac{-12 \times {10}^{-6}}{6 \times {10}^{-2} }= -1.8 \times {10}^6 V \end{gathered}$$

الشكل (18): الجهد الناشئ عن كرة مشحونة من الألمنيوم.

مثال محلول 9

يُمثّل الرسم البياني في الشكل (19) العلاقة بين الجهد الكهربائي

والبعد عن مركز موصل كروي مشحون. معتمدًا على الشكل أجد:

   أ. نصف قطر الموصل

  ب. الجهد الكهربائي عند نقطة تبعد (20cm) عن مركز الموصل.

  ج. شحنة الموصل.

الحل:

أ . نصف قطر الموصل  من الرسم مباشرة:    $R = 0.5m$
ب .  من الرسم  البياني ، الجهد عند تلك النقطة

                                                                       $V_{0.2} =25V$

ج. من الشكل، جهد الموصل ($V_{sph}=100V$) وبتطبيق المعادلة:

    $$\begin{gathered} V_{sph} = k \frac{Q}{R} \\ 100 = 9 \times {10}^9 \frac{Q}{ 0.05} \Rightarrow Q = 5.5 \times {10}^{-10} = 0.55 nC \end{gathered}$$

الشكل (19): العلاقة بين جهد موصل كروي والبعد عن مركزه.

مثال محلول 10

موصل كروي من النحاس نصف قطره (4 cm) مشحون ومعزول،

موضوع في الهواء كما في الشكل ( 20 )،  إذا علمتُ أنّ جهد

النقطة  a يساوي (2000 V)؛ فأحسبُ:

    أ . جهد الموصل الكروي.

   ب.شحنة الموصل.

   ج.الشغل الذي تبذله القوّة الكهربائية لنقل شحنة (-8 nC) من

    النقطة c إلى النقطة b.

الحلّ:
أ. جهد الموصل: 
                                                                      $V_{sph}=V_a =V_b =2000V$
ب. شحنة الموصل:

                          $$\begin{gathered} V_b = k\frac{ Q}{ R } \\ 2000 = 9 \times {10}^9\frac{ Q}{4 \times {10}^{-2 }} \Rightarrow Q = 8.9 \times {10}^{-9 }C \end{gathered}$$
ج.

 $$\begin{gathered} V_c = k \frac{Q}{r} = 9 \times {10}^9 \frac{8.9 \times {10}^{-9}}{8 \times {10}^{-2} }= 1000 V \\ r = d + R = 4 + 4 = 8 cm \\ {W}_{c\to b} = -q{V}_{cb} = -(-8 \times 10-9)(2000 - 1000) = 8 \times {10}^{-6} J \end{gathered}$$ 

 

الشكل (20): الجهد الناشئ عن موصل كروي مشحون.

تمرين

كرة موصلة ومشحونة نصف قطرها $R$  وجهدها  $V$ ، أجد بدلالة $V$جهد نقطة تبعد مسافة $4R$ عن مركزها.

سطوح تساوي الجهد Equipotential Surfaces
تعلمتُ سابقًا أنّ الجهد الكهربائي كمّية قياسية، مقداره عند نقطة

تبعد مسافة r عن شحنة نقطية هو نفسه في الاتّجاهات جميعها،

وهذا يعني أنّ كلّ النقاط الواقعة على سطح كرة متّحدة المركز مع

الشحنة النقطية لها قيمة الجهد نفسه، ويعرف هذا السطح باسم

سطح تساوي الجهد Equipotential surface وهو السطح الذي يكون

الجهد الكهربائي عند نقاطه جميعها متساويًا. تُمثّل سطوح تساوي الجهد

في ( 3) أبعاد على شكل سطوح كروية متّحدة المركز مع الشحنة، أمّا في

بُعدين فتُمثّل على شكل دوائر متّحدة المركز مع الشحنة النقطية تُسمّى خطوط

تساوي الجهد كما في الشكل ( 21 ).

تكون سطوح تساوي الجهد الناشئة عن الموصل الكروي كروية الشكل، تُحيط

بالموصل وتتّحد معه في المركز، كما في الشكل (22 )؛

ويُعدّ سطح الموصل سطح تساوي جهد.

يُمثّل كل سطح تساوي جهد مقدارًا محدّدًا من الجهد الكهربائي

كما هو مُبيّن في الشكل ( 21 ). ويكون فرق الجهد بين أيّ نقطتين

على سطح تساوي الجهد يساوي صفرًا. ومن ثمّ، لا يلزم بذل شغل

لنقل شحنة من نقطة إلى أخرى على سطح تساوي الجهد نفسه. 
كما أنّ لخطوط المجال الكهربائي خصائص معينة؛ فإن لسطوح

تساوي الجهد كذلك خصائص يمكن ملاحظتها من الشكلين ( 21 - 22 )،

وهي:
- سطوح تساوي الجهد التي يكون الفرق في الجهد بينها متساويًا؛

  تتقارب كلّما اقتربنا من الشحنة؛ لأنّ المجال الكهربائي يزداد مقداره 

 وتتقارب خطوطه في أثناء الاقتراب من الشحنة، كذلك تتباعد سطوح

  تساوي الجهد كلّما ابتعدنا عن الشحنة.

 - لا تتقاطع؛ لأنها لو تقاطعت عند نقطة ما لوجدنا أكثر من قيمة للجهد 

  الكهربائي عند تلك النقطة وهذا غير ممكن.

 - تتعامد سطوح تساوي الجهد مع خطوط المجال الكهربائي.

الشكل ( 21 ): خطوط المجال الكهربائي
وسطوح تساوي الجهد الكهربائي الناشئة
عن شحنة نقطية.

الشكل ( 22 ): الجهد الكهربائي لموصل
كروي وسطوح تساوي الجهد حوله.

مثال محلول 11

بناءً على الشكل (23) الذي يُمثّل سطوح تساوي الجهد لموصل كروي مشحون بشحنة سالبة، أحسبُ:
  أ .فرق الجهد (V_bc) و(V_ba).
  ب. الشغل الذي تبذله القوّة الخارجية؛ لنقل إلكترون بسرعة ثابتة

    من النقطة m إلى النقطة c. 

   ج.شحنة الموصل، علمًا بأنّ نصف قطره 9cm.

الحلّ:
أ. 

          $$\begin{gathered} V_{ba} =V_a -V_b =-5-(-4)=-1V \\ {V}_{bc} =V_c -V_b =(-3)-(-4)= 1V \end{gathered}$$
                  
ب.
                                $$\begin{gathered} W_{m\to c} = q{V}_{mc}=q(V_c -V_m) \\ =-1.6\times {10}^{-19}( -3 -(-2\left)\right)=1.6\times {10}^{-19}J \end{gathered}$$
                         
ج. جهد الموصل يساوي (  5V - )  ولإيجاد شحنته أُطبّق العلاقة

    الآتية: 

$$\begin{gathered} V = k \frac{Q}{R} \\ -5 = 9 \times {10}^9 \frac{Q}{9 \times 10-2} \\ Q = -5 \times {10}^{-11 }C = -50 pC \end{gathered}$$

الشكل (23): سطوح تساوي الجهد حول

موصل كروي مشحون.
 

مثال محلول 12

يُبيّن الشكل (24) سطوح تساوي الجهد لشحنتين نقطيتين 

متساويتين في المقدار. أجيب عمّا يأتي:

   أ. ما إشارة كل من الشحنتين؟

  ب. أحسبُ فرق الجهد V_ab.

  ج. هل يلزم شغل لنقل بروتون من النقطة c إلى النقطة d؟ أُوضّح ذلك.

الحل:

أ . الشحنتان سالبتان؛ لأنّ سطح تساوي الجهد المحيط بكل شحنة

جهده سالب (  10V - )، كما أنّ شكل سطوح تساوي الجهد يدل على

 أنّ الشحنتين من النوع نفسه.

  
ب.                 $V_b =-5 V ,V_a= -10 V$
       $V_{ab} = V_b - V_a = -10 - (-5) = -5 V$
ج. لا يلزم شغل؛ لأنّ كلّ من النقطتين c و d تقعان على سطح

تساوي الجهد نفسه. ومن ثمّ، فإنّ جهد كل منهما متساوٍ، وفرق

الجهد بينهما يساوي صفرًا ($V_{cd}=0$) ، والشغل حسب العلاقة

 0 =  .W_c→d = qV_{cd $W_{c\to d} =q{V}_{cd}=0$}

الشكل (24): سطوح تساوي الجهد لشحنتين

نقطيتين.