الجهد الكهربائي لشحنة نقطية

عند رفع جسم من سطح الأرض بسرعة ثابتة إلى ارتفاع Δy = h فوق

سطح الأرض، أُؤثّر بقوّة خارجية بعكس قوّة الجاذبية، وشغل تلك القوّة

يختزن في نظام (الجسم - الأرض)على شكل طاقة وضع ناشئة عن الجاذبية

تعتمد على وزن الجسم والارتفاع (h)، أنظرُ إلى الشكل ( 1).بالمقابل هل يُبذل

شغل لنقل شحنة كهربائية في مجال كهربائي؟ وهل يُختزن ذلك الشغل على

شكل طاقة وضع كهربائية في نظام (المجال الكهربائي - الشحنة الكهربائية)؟

تعلمتُ في الوحدة السابقة أنّ شحنة كهربائية نقطية +Q تولّد مجالًا كهربائيًّا

 حولها؛ يتناسب مقداره عكسيًّا مع مربّع البُعد عن تلك الشحنة، بحيث يُصبح

 صفرًا ( E = 0 ) عند نقطة اللانهاية (∞) والتياصطُلِح على تسميتها النقطة

 المرجعية.

الشكل ( 1): شغل قوّة خارجية يُختزن

 على شكل طاقة وضع ناشئة عن الجاذبية.

فإذا أردتُ نقل شحنة اختبار نقطية موجبة Q+ من اللانهاية بسرعة ثابتة إلى

نقطة ما مثل a تبعد  مسافة r عن الشحنة النقطية Q+ كما في الشكل (2)؛

 فإنّ ذلك يتطلّب بذل شغل W للتغلّب على قوّة التنافر الكهربائية بين الشحنتين،

إذ يُختزن هذا الشغل على شكل طاقة وضع كهربائية  ( Electric potential energy (PE

 في نظام (مجال الشحنة (Q) - الشحنة q)، التي يُمكنني تعريفها بأنّها:

  الشغل المبذول بوساطة قوّة خارجية؛ لنقل شحنة اختبار موجبة q+

  بسرعة ثابتة من اللانهاية إلى نقطة  في المجال الكهربائي للشحنة Q. 

 ويُعطى الشغل W الذي تبذله القوّة الخارجية في نقل شحنة اختبار صغيرة موجبة q+

 من اللانهاية  إلى النقطة a بالعلاقة:

                                                        $W = \frac{qQ}{ 4\pi {\epsilon }_0 r}$

الشكل ( 2): نقل شحنة اختبار q من اللانهاية، إلى

نقطة داخل المجالالكهربائي لشحنة نقطية .

وبذلك؛ فإنّ الشغل المبذول لنقل وحدة الشحنة الموجبة بسرعة ثابتة من اللانهاية إلى

 النقطة a فيمجال الشحنة  يُعطى بالعلاقة:

                                            $\frac{W}{q} = \frac{qQ}{ 4\pi {\epsilon }_0 r}\times \frac{1}{q}=\frac{1}{ 4\pi {\epsilon }_0}\times \frac{Q}{ r}$

وتُمثّل هذه العلاقة الجهد الكهربائي (Electric potential (V عند نقطة ما، مثل a في المجال

 الكهربائي للشحنة Q،

 ويُعرّف بأنّه: الشغل الذي تبذله قوّة خارجية لنقل وحدة الشحنة الموجبة بسرعة ثابتة من

                     اللانهاية إلى تلك النقطة

 في المجال الكهربائي.

  ويُعبّر عنه رياضيًّا بالعلاقة (بافتراض الوسط هواء أو فراغ): 

                                                            $V = \frac{W}{q} = \frac{1 }{4\pi {\epsilon }_0 }\frac{Q}{r} = k \frac{Q}{r}$

حيث؛

V: الجهد الكهربائي عند نقطة ما.

Q : مقدار الشحنة المولّدة للمجال الكهربائي.

r : بُعد النقطة عن الشحنة المولّدة للمجال.

 k : ثابت التناسب.

والجهد الكهربائي لنقطة يُعطى بالنسبة إلى نقطة مرجعية موجودة في

اللانهاية جهدها يساوي صفرًا ( V∞ = 0 ). الجهد الكهربائي كمّية قياسية،

 ويُقاس بوحدة الفولت ( Volt ) ويُرمز له بالرمز ( V) حيث 1V = 1 N.m/C ؛ لذا،

 يكون الجهد الكهربائي موجبًا عندما تكون الشحنة المولّدة للمجال موجبة،

 وسالبًا عندما تكون الشحنة المولّدة  للمجال سالبة، ويُبيّن الشكل ( 3)

 التمثيل البياني للعلاقة بين الجهد الكهربائي عند نقطة  وبُعد النقطة عن

الشحنة في الحالتين: عندما تكون الشحنة موجبة وعندما تكون الشحنة

سالبة، وسالب ميل المماس عند نقطة على المنحنى يُمثّل المجال الكهربائي

 عند تلك النقطة.

مثال محلول

شحنة كهربائية Q = -0.05 μC موضوعة في الهواء كما في الشكل ( 4)، أحسبُ:

   أ . الجهد الكهربائي عند النقطتين (a ,b)

   ب . الفرق في الجهد الكهربائي بين النقطتين (a وb) (Va - Vb) 

الحلّ:
أ. الجهد الكهربائي عند النقطة (a) :(Va)

                          $V_a = k \frac{Q}{r_a} = 9 \times {10}^9\times \frac{-0.05 \times {10}^{-6 }}{3 \times {10}^{-2}} = -1.5 \times {10}^4 V$
ب. الجهد الكهربائي النقطة (b) :(Vb)

                             $V_b = k \frac{Q}{r_b} = 9 \times {10}^9\times \frac{-0.05 \times {10}^{-6 }}{4.5 \times {10}^{-2}} = -1 \times {10}^4 V$
ج . الفرق في الجهد (V_a - V_b)
                                                    V_a - V_b = -1.5 × 10⁴ - (-1 × 10⁴) = -5 × 10³ V

  د. ماذا تعني الإشارة السالبة في مقدار الفرق في الجهد (V_a - V_b)؟

                     جهد النقطة b أعلى من جهد النقطة a.

الشكل ( 4): الفرق في الجهد الكهربائي بين نقطتين.

تمرين

شحنة كهربائية موضوعة في الهواء، والجهد الكهربائي الناشئ عنها

عند نقطة b تبعد مسافة ( 0.08m) عن تلك الشحنة يساوي ($-4.5 \times {10}^3 V$).

أًجيب عمّا يأتي:

 أ . ما نوع الشحنة الكهربائية؟

ب. ما مقدار الشحنة الكهربائية؟ هل يقلّ الجهد أم يزداد عند النقطة b كلّما بعدت

   أكثر عن الشحنة؟

الجهد الكهربائي الناشئ عن عدّة شحنات نقطية 

 Electric Potential due to Point Charges

أفترض أنّ النقطة a تقع في مجال عدّة شحنات (…, Q₁, Q₂,Q₃ ) وبما أنّ

الجهد الكهربائي كمّية قياسية؛ فإنّ الجهد الكهربائي عند النقطة a يساوي

 المجموع الجبري للجهود الناشئة عن تلك الشحنات عند تلك  النقطة:
                                                              $$\begin{gathered} V_a = V_1 + V_2 + V{3 }_{}+ .... \\ {V}_a = k( \frac{Q_1 }{r_1 }+ \frac{Q_2}{r_2} +\frac{ Q_3 }{r_{3 }}+....) \end{gathered}$$

مثال محلول

شحنتان موضوعتان في الهواء كما في الشكل (5). بناءً على البيانات المُبيّنة

  في الشكل،  أحسبُ الجهد الكهربائي:

      أ . عند النقطة .b

     ب . عند موقع الشحنة الأولى (الناشئ عن الشحنة الثانية).

الحلّ:

        أ. جهد النقطة b الناشىء عن الشحنتين:

$$\begin{gathered} V_b = V_{b1} + V_{b2} , r_{b2} =\sqrt{(3^2 + 4^2)} = 5 cm \\ {V}_b = k( \frac{Q_1 }{ r_{b1}}+ \frac{Q_2 }{r_{b2 }}) = 9 \times {10}^9( \frac{-2 \times {10}^{-9}}{ 3 \times {10}^{-2} }+ \frac{6 \times {10}^{-9 }}{5\times {10}^{-2} }) = 1.68 \times {10}^3 V \end{gathered}$$
       ب . الجهد عند موقع الشحنة الأولى (الناشئ عن الشحنة الثانية):

                                                 $V_1 = k \frac{Q_2}{r_2} = 9 \times {10}^9 \frac{6 \times {10}^{-9}}{4 \times {10}^{-2}} = 1.35 \times {10}^3 V$

الشكل ( 5): الجهد الكهربائي الناشئ عن

شحنتين نقطيتين.

مثال محلول

شحنتان موضوعتان في الهواء ($-5 nC, 8 nC$) والمسافة بينهما ($40 mm$).

 أجد بعد نقطة عن  الشحنة ($-5 nC$) تقع على الخطّ الواصل بين الشحنتين،

 بحيث يكون الجهد الكهربائي عندها يساوي صفرًا.

الحلّ:
أفترضُ نقطة مثل b تقع على بعد r₂ عن الشحنة الثانية، وعلى بعد r₁ عن

الشحنة الأولى كما  هو مُبيّن في الشكل (6)، والجهد الكهربائي عندها يساوي صفرًا.

  ومن ثمّ:

                                                                          $$\begin{gathered} V_b = V_1 + V_2 \\ 0 = V_1 + V_2 \\ {V}_1 = - V_2 \\ k \frac{Q_1}{r_1} = -k \frac{Q_2}{ r_2} \\ r_1 = 40 - r_2 \\ \frac{ 8 }{40 - r_2} = - \frac{-5}{ r_2 } \\ 8 r_2 = 5(40 - r_2) \\ 13 r_2 = 200 \\ r_{2 }= 15.4 mm \end{gathered}$$

تمرين

(3) شحنات كهربائية ( Q, 2Q, -Q ) موضوعة في الهواء كما في الشكل،

فإذا علمتُ أنّ الجهد الكهربائي الناشئ عن  الشحنة Q عند النقطة b يساوي

( 360 V )؛ فأحسبُ:

    أ. مقدار كلّ من الشحنات الكهربائية الثلاث.

    ب. الجهد الكهربائي عند النقطة b . 

العلاقة بين الشغل والتغيّر في طاقة الوضع الكهربائية 

Relation between Work and Electric Potential Energy
عند نقل شحنة اختبار q من نقطة إلى أخرى في مجال كهربائي، ما العلاقة التي تربط

 بين كلّ من الشغل المبذول بوساطة قوّة خارجية لنقل تلك الشحنة، وفرق الجهد

الكهربائي بين النقطتين؟ وما علاقة كلّ منهما بالتغيّر في طاقة الوضع الكهربائية

للشحنة q ؟

نقل شحنة من اللانهاية إلى نقطة في مجال كهربائي 

Transfer of a Charge from Infinity to a Point in the Electric Field

يؤدّي الشغل المبذول بوساطة قوّة خارجية؛ لنقل شحنة اختبار نقطية موجبة بسرعة

ثابتة من اللانهاية،  إلى نقطة ما فيالمجال الكهربائي، إلى تغيّر طاقة الوضع الكهربائية

للشحنة، ويرتبط هذا التغيّر مع شغل القوة الخارجية بالعلاقة:

                                                       (∞)W = PE_f - PE_i

  وبما أنّ PE_i (∞) = 0 ؛ فإنّ الجهد الكهربائي عند تلك النقطة يُعطى بالعلاقة الآتية:
                                                           $V =\frac{ W}{q} =\frac{ P{E}_f }{q} = \frac{PE}{ q}$

لذا، يُمكنني إعادة تعريف الجهد الكهربائي عند نقطة على النحو الآتي:

    طاقة الوضع الكهربائية لوحدة الشحنة عند تلك النقطة.

نقل شحنة من نقطة إلى أخرى في المجال الكهربائي

 Transfer of a Charge from a Point to a Point in the Electric Field

عند نقل شحنة اختبار نقطية q بسرعة ثابتة من نقطة i إلى أُخرى f كما في الشكل (7)؛

فإنّ الشغل المبذولبوساطة قوّة خارجية يساوي التغيّر في طاقة الوضع الكهربائية

للشحنة،  ويُعطى بالعلاقة الآتية:

                                                         W = ΔPE = PE_f - PE_i

ومن ثمّ، فإنّ فرق الجهد الكهربائي بين النقطتين Electric potential difference ( ΔV )

 يساوي التغيّر في طاقة الوضع الكهربائية للشحنة q عند انتقالها من نقطة إلى أخرى في

 المجال الكهربائي مقسومًا على الشحنة q،   ويُعبّر عنه بصورة رياضية على النحو الآتي:

                                                            $\Delta V = V_f - V_i =\frac{ \Delta PE}{ q}$ 

Vi : الجهد الابتدائي عند النقطة التي نقلت منها الشحنة.

Vf : الجهد النهائي عند النقطة التي نقلت إليها الشحنة.

 ومن ثمّ، فإنّ العلاقة التي تربط بين الشغل الذي تبذله قوّة خارجية، والتغيّر

 في طاقة الوضع  وفرق الجهد عند نقل شحنة q من نقطة البداية i إلى نقطة

  النهاية f، تكون على الصورة الآتية:

                        W_i→f = ΔPE = PE_f - PE_i = qΔV = q(V_f - V_i)

 أمّا شغل القوّة الكهربائية؛ فإنّه يساوي سالب شغل القوّة الخارجية؛ أي إنّ:

                             W_i→f = -ΔPE = -(PE_f - PE_i )= -qΔV = - q(V_f - V_i)

نظام (المجال الكهربائي - الشحنة الكهربائية) نظام محافظ، والقوّة الكهربائية

قوّة محافظة؛

فعندما تكون القوّة الكهربائيةهي القوّة الوحيدة المؤثّرة في الشحنة؛ فإنّ

 مجموع الطاقة  الميكانيكية للنظام ثابت. بمعنى: مجموع طاقة الوضع

 الكهربائية وطاقة الحركة يساوي مقدارًا  ثابتًا، وهذا يعني أنّ المجموع الجبري

  للتغيّر في طاقة الحركة والتغيّر في طاقة الوضع الكهربائية  يساوي صفرًا،

 ويُمكنني صياغة ذلك بالعلاقة: 

   ΔKE + ΔPE = 0

  فإذا تحركت شحنة نقطية موجبة أو سالبة تحت تأثير القوة الكهربائية فقط

 وباتّجاهها؛ فإنّ ذلك يؤدي إلى نقصان طاقة الوضع الكهربائية المختزنة في

 الشحنة، مقابل زيادة مساوية في طاقتها الحركية.

مثال محلول

تحرّك بروتون من النقطة a إلى النقطة b باتجاه المجال الكهربائي

 كما في الشكل (8). إذا علمتُ أنفرق الجهد بين النقطتين (V_b - V_a = -5 V)

 وشحنة البروتون $1.6 \times {10}^{-19} C$؛ فأحسبُ:

     أ. شغل القوّة الكهربائية المبذول لتحريك البروتون من a إلى b

    ب. التغيّر في طاقة الوضع الكهربائية للبروتون.

الحلّ:
أ .               W_a→b = -q(V_b-V_a) = (-1.6 × 10^-19) × -5 = 8 × 10^-19 J
ب .              W_a→b = -ΔPE

                ΔPE = -8 × 10^-19 J
والإشارة السالبة تعني أنّ طاقة الوضع الكهربائية للبروتون، قلّت

 عند انتقاله من النقطة a إلى  النقطة b.

الشكل (8): حركة بروتون في مجال كهربائي.

مثال محلول

وُضِع إلكترون في وضع السكون عند النقطة c في المجال الكهربائي

للشحنة Q؛ فتحرّك بفعل قوّة المجال الكهربائي للشحنة إلى النقطة d

 كما في الشكل ( 9) ليخسر من طاقة وضعه الكهربائية

 $3.2 \times {10}^{-18} J$ إذا علمتُ أنّ شحنة الإلكترون$-1.6 \times {10}^{-19} C$ ؛

 فأُجيب عمّا يأتي:

أ . أُحدّد اتّجاه خطوط المجال الكهربائي.

ب . أحسبُ مقدار فرق الجهد (V_c-V_d)

ج . أيّهما أكبر، جهد النقطة c أم النقطة d ؟

د . أحسبُ مقدار الشغل الذي بذلته القوّة الكهربائية في تحريك الإلكترون

 من النقطة c إلى النقطة d .

الحلّ:
أ. بما أنّ شحنة الإلكترون سالبة؛ فإنّ حركته تكون بعكس اتّجاه المجال

 الكهربائي تحت تأثير القوّة الكهربائية.وبما أنّ الحركة من النقطة c إلى

 النقطة d بعكس اتّجاه المجال،   أستنتجُ أنّ اتّجاه خطوط المجال نحو

 مركز الشحنة؛ ما يدلّ على أنّ الشحنة سالبة.

ب. 

                                $$\begin{gathered} \Delta PE = q{V}_{dc} \\ -3.2 \times {10}^{-18} = -1.6 \times {10}^{-19} \times V{{}_d}_c \\ {V}_{cd }=- 20 V \end{gathered}$$
ج. بما أنّ V_dc = V_d - V_c = 20 فهذا يعني أنّ V_d أكبر من V_c إذ أنّ خط المجال

 يكون دائمًا باتّجاه  تناقص الجهد.

  د . 

                                 $$\begin{gathered} W_{c\to d} = -q{V}_{dc} \\ = -(-1.6 \times {10}^{-19} \times 20) = 3.2 \times {10}^{-18} J \end{gathered}$$
      أو مباشرة من العلاقة:

                           $W_{c\to d}= -\Delta PE = -(-3.2 \times {10}^{-18} ) = 3.2 \times {10}^{-18} J$ 

الشكل (9): إلكترون موضوع في مجال

 الشحنة Q

فرق الجهد بين نقطتين في مجال كهربائي منتظم

 Electric Potential Difference in a Uniform Electric Field
فكيف يُمكنني إيجاد فرق الجهد الكهربائي بين نقطتين في مجال كهربائي منتظم؛

مثلالمجال الكهربائي بين صفيحتينموصلتين متوازيتين مشحونتين، إحداهما 

شحنتها سالبة ( Q-) والأُخرى شحنتها موجبة ( Q+)، كما في الشكل ( 10 )؟

عند وضع شحنة اختبار موجبة q+ عند نقطة ما مثل a في مجال كهربائي منتظم E

كما في الشكل (10)، فإنّها تتأثر بقوّةكهربائية حسب العلاقة: F = qE ، والشغل

الذي تبذله القوّة الكهربائية لتحريك تلك الشحنة من النقطة a إلى النقطة b،

 يُعطى بالعلاقة:

                                                    W_a→b = F∙d

  حيث d الإزاحة من النقطة a إلى النقطة b. وبتعويض مقدار القوّة الكهربائية F فإنّ

 علاقة الشغل تؤول إلى:

                                         W_a→b = q E∙d = qEd cos θ

   وكما تعلّمتُ سابقًا؛ يرتبط شغل القوّة الكهربائية بفرق الجهد الكهربائي بالعلاقة:
                                            W_a→b = -qV_ba = - q(V_a - V_b )
أستنتجُ من مساواة المعادلتين السابقين للشغل أنّ:

                                            V_ab = (V_a - V_b ) =  - E∙ d

                             أي إنّ:           V_ab = (V_a - V_b) = - Ed cos θ
حيث؛

     E: مقدار المجال الكهربائي المنتظم.

     d : مقدار الإزاحة من النقطة a إلى النقطة b

     θ : الزاوية بين اتّجاه المجال E واتجاه الإزاحة (d)  0˚ < θ < 180˚ .

   (V_b - V_a): فرق الجهد بين النقطتين a وb

  تربط هذه العلاقة بين مقدار المجال الكهربائي المنتظم وفرق الجهد؛ بحيث يُمكنني

  حساب مقدار المجال الكهربائي المنتظم بين صفيحتين البُعد بينهما d وفرق الجهد

    بينهما ΔV على النحو الآتي:

                                                                $E = \frac{\Delta V}{ d}$

   إذ يتغيّر فرق الجهد ΔV بانتظام مع تغيّر الإزاحة d
 

الشكل ( 10 ): مجال كهربائي

منتظم بين صفيحتين موصلتين

متوازيتين مشحونتين.

مثال محلول

  مجال كهربائي منتظم مقداره 2 × 104 V/m تقع داخله ( 3) نقاط: (a, b, c)

 كما في  الشكل ( 11 )، أحسبُ:

 أ . فرق الجهد الكهربائي V_ab ، V_bc

 ب . الشغل المبذول من قِبَل القوّة الكهربائية؛ لنقل شحنة موجبة

     مقدارها $\mathbf{3}\mathbf{ }\mathbf{\times }\mathbf{ }{\mathbf{10}}^{\mathbf{-}\mathbf{9}}\mathbf{ }\mathit{C}\mathbf{ }\mathbf{ }$  من النقطة a إلى النقطة b

الحلّ:
أ.
                V_ab = Ed_a→b cos θ =2 × 10⁴ ×0.04×cos 0˚= 800 V
                    V_bc =  Ed_b→c cos θ = 2 × 10⁴×0.02×cos 90˚ = 0     

                      وهذا يعني أنّ:   Vb = Vc

 ب.      W_a→b = -qV_ba = -3 × 10^-9 × -800 = 2.4 × 10^-6 J

الشكل ( 11 ): ( 3) نقاط في مجال منتظم.

مثال محلول

يُمثّل الشكل ( 12 ) مجالًا كهربائيًّا منتظمًا تقع داخله ( 3) نقاط: (a,b,c). إذا علمتُ أنّ

 فرق الجهد الكهربائي$( V_{bc}=600V )$؛

 فأحسبُ:

   أ. مقدار المجال الكهربائي.

  ب. فرق الجهد الكهربائي (V_c - V_a)

  ج. هل تبذل القوّة الكهربائية شغلًا لنقل شحنة ما من النقطة a إلى النقطة b ؟

الحلّ:
أ.

                                            $$\begin{gathered} V_{bc} = E{d}_{b\to c} \cos 0 \\ 600 = E \times 0.03 \times 1 \\ E = \frac{600}{0.03} = 2 \times {10}^4 V/m \end{gathered}$$
 ب . حسب فيثاغورس:

                                                        $d_{a\to c}=\sqrt{ 4^2 + 3^2} =5 cm$
  يُمكنني إيجاد V_ac عن طريق إحدى المسارين:
  عن طريق المسار a→c :

                                $$\begin{gathered} V_{ac} = E{d}_{a\to c}\cos \theta \\ =(2 \times {10}^4) \times 0.05 \times \frac{3}{ 5} = 600 V \end{gathered}$$

أو عن طريق المسار  a→b→c:
                                                             $$\begin{gathered} V_{ac} = V_{ab} + V_{bc} \\ = 600 + 0 =600 V \end{gathered}$$
أستنتجُ من ذلك، أنّ فرق الجهد الكهربائي بين نقطتين في مجال كهربائي

 منتظم لا يتغيّر بتغيّر المسار بين النقطتين؛ لأنّ القوّة الكهربائية قوّة

 محافظة شغلها لا يعتمد على المسار.

ج . لا؛ لأنّ جهد النقطة a يساوي جهد النقطة V_ab = 0) b ) ومن ثمّ:
                                                                     0 =W_a→b =  - qV_ab  

الشكل ( 12 ): ( 3) نقاط

في مجال منتظم.