الجبر المنطقي (البوولي)

الوحدة الثالثة 

الأساس المنطقي للحاسوب  والبوابات المنطقية   

الفصل الثالث  :  الجبر المنطقي ( البوولي )

 يتكون جهاز  الحاسوب من مكونات مادية مرتبطة معاً  لتنفيذ مجموعة من الوظائف و  لتحديد هذه الوظائف وتنفيذها لا بد من فهم وظيفة كل جزء من المكونات المادية  وكيفية  ارتباطه بالأجزاء الأخرى لتبادل المعلومات و تحدد الوظائف وعمليات الربط  من خلال نموذج رياضي ( يمكن تمثيله بعلاقات منطقية أو جبرية  )

من مسميات أخرى للجبر البوولي : الجبر المنطقي   ،  عمليات الجبر المنطقي 

 

 أولاً :  مفهوم الجبر البوولي (  المنطقي)

   الجبر البوولي ( الجبر المنطقي )  : هو أحد فروع علم الجبر  في الرياضات  وهو الأساس الرياضي اللازم لدراسة التصميم المنطقي للأنظمة الرقمية ومنها الحاسوب

  تعود تسميته للعالم الرياضي  الانجليزي جورج بوول  ( George  Boole)  وقد قدمه للمرة الاولى في كتابه (   التحليل الرياضي للمنطق )  وقد قام بتقديم أسس الجبر المنطقي بشكل واسع  في كتابه الأشهر(  دراسة في قوانين التفكير )  وأكّد  على أن استخدام الصيغة الجبرية في وصف عمل الحاسوب الداخلي أسهل من التعامل مع البوابات المنطقية

يسمّى  المتغير متغيراً منطقياً اذا عُينّت  له إحدى الحالتين  إما صواب ( True )  أو خطأ ( False )  ويرمز له بأحد الحروف A......Z    ( لا أهمية لكون الأحرف كبيرة أم صغيرة )  و النظام الأنسب  لتمثيل الأعداد والرموز وتخزينها داخل الحاسوب هو نظام العد الثنائي ( 0  أو  1 )  حيث يمكن استخدام أرقام العد الثنائي ( 0  أو 1) لتمثيل حالات المتغير المنطقي فيمثل  الرقم ( 1 )  الحالة الصحيحة  .........و الرقم  ( 0 ) الحالة الخطأ

 

ثانياً : العبارات الجبرية المنطقية والعمليات المنطقية 

العبارة الجبرية المنطقية :هي ثابت منطقي( 0 أو 1 )  أو متغير منطقي مثل

  X )  ، Y  ) أو مزيج من الثوابت والمتغيرات المنطقية  يجمع بينهما عمليات منطقية 

ملاحظة : 

يمكن أن تحتوي العبارة الجبرية المنطقية على : 

 - 1  أقواس                     2 -  أكثر من عملية منطقية 

 العمليات المنطقية الأساسية في الجبر المنطقي ( البوولي ) 

أ -  عملية    NOT

يطلق على عملية NOT  في علم الجبر المنطقي  اسم المتمم  لأن متممة 0   تساوي  1        و متممة 1  هي 0 

العبارة الجبرية المنطقية لعملية NOT  هي 

تعني  ( ـــــــــ )  في العبارة الجبرية المنطقية المتممة  لقيمة المتغير المنطقي 

قيم المتممة للمتغير X  ضمن الجدول الآتي 

	X
0	1
1	0

 

ب-  عملية AND 

يعبر عن عملية AND  بالجبر المنطق ( البوولي )    بالرمز  (  .  )   

العبارة الجبرية المنطقية لعملية AND  هي

A =  X  .   Y

ملاحظات هامة : 

1-  استخدام  الرمز   (   .  )   يشبه عملية الضرب الثنائي  

2 - يمكن ان يهمل الرمز  (  .   )  ويكتب التعبير بدونها  مثل  

مثال  يمكن أن يكتب  التعبير المنطقي       XY     بدلا  من     X .   Y  

ناتج عملية AND  في التعبير الجبري المنطقي ( البوولي ) كما في الجدول الآتي

A =  X . Y	Y	X
1	1	1
0	0	1
0	1	0
0	0	0

 

 ج-  عملية   OR

يعبر عن عملية OR بالجبر المنطق ( البوولي )   بالرمز  (  +   ) 

  العبارة الجبرية المنطقية لعملية OR هي     

A =  X  +   Y

 

ناتج عملية OR  في التعبير الجبري المنطقي ( البوولي ) كما في الجدول الآتي

A =  X + Y	Y	X
1	1	1
1	0	1
1	1	0
0	0	0

 

ثالثاً : ايجاد ناتج العبارة الجبرية المركبة 

 العبارة الجبرية المركبة  : هي العبارة الجبرية التي تحوي اكثر من عملية منطقية أساسية و يمكن ايجاد ناتج عبارة جبرية منطقية مركبة  من خلال اتباع قواعد الاولويات 

1. الأقواس إن وجدت  (         )   حيث تنفذ العمليات التي بداخلها أولاً
2. البوابة المنطقية  NOT
3. البوابة المنطقية  AND
4. البوابة المنطقية  OR
5. في حالة تكافؤ وتساوي الأولويات تنفذ الاولويات من اليسار لليمين  

مثال ( 1 ) جد ناتج العبارة الجبرية المنطقية  ،  علماً  بأن  A = 1  ,  B  = 0   ,   C = 1 

                                                                                                              

الحل :   :   نعوّض ثم نتبع الأولويات كما يلي

       

 0  +  0  .   1

0  +  0  

0

اذا الناتج للعبارة المنطقية الجبرية هو  0 

مثال ( 2)  جد ناتج العبارة المنطقية الجبرية        اذا  علمت أن :   A = 0  ,   B =  1   ,   C = 1     D = 0 

الحل : 

     -1   نعوض القيم

  -2  نتبع الأولويات  

ملاحظة عندما تكون المتممة  شرطة كبيرة  تعتبر كالقوس  فالأولوية لها   ثم ننظر أسفل شرطة المتممة  ونتبع الأولويات كالآتي 

   AND   ).   )    ثم   OR     ( + )

نشاط ( 3 - 10 ) 

جد ناتج العبارات الجبرية المنطقية  الآتية  علماً بأن

  A=  1  ,  B  =  0   ,  C = 0   D = 1 

1  -  

طريقة الحل :

اولاً  نعوّض   ثم نتبع الأولويات كما يلي 

 

2  -  

3  -  

نشاط ( 3 - 11 ) 

حوّل العبارات المنطقية الآتية لعبارات الجبرية المنطقية   : 

1 -     A   AND   NOT   B 

2  -   NOT   A   OR   B  AND     C 

3-     A  AND    B  AND  NOT   C 

4-  A  OR   NOT  (  B   AND  NOT   C   ) 

5  -  NOT   A  OR  (  NOT   B   OR  C   AND  D  ) 

 

رابعاً : تمثيل العبارات الجبرية المنطقية المركبة  باستخدام  البوابات المنطقة 

عند التمثيل يجب اتباع الاولويات كما تم شرحها مسبقا  ضمن البوابات المنطقية الأساسية المركبة  

 

مثال ( 1 )   مثل العبارة الجبرية  المنطقية      باستخدام البوابات المنطقية  ثم جد قيمة  X  اذا  كانت   A = 0    ,  B  =  1 

خطوات الحل :

1 -  عند التمثيل / الرسم نتبع الأولويات  فالأولوية للمتممة  

مخرج  بوابة  NOT    هي مدخل لبوابة  AND   والمدخل  الثاني  هو B

نعوض القيم  على البوابة المنطقية ثم نجد الناتج  

اذا   قيمة          X  =   1 

نشاط ( 3 - 12 )   مثّل العبارات الجبرية الآتية باستخدام البوابات المنطقية  ثم جد الناتج النهائي  اذا كانت : A = 0  ,   B =  1  ,   C = 1  ,  D =  0 

    

الحل : 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     

الحل : 

 

 

 

 

 

الحل : 

 

الحل :