التوزيع الهندسي

Geometric Distribution

سنتعرف في درس التوزيع الهندسي إلى:

1) تجربة بيرنولي.

2) التجربة الاحتمالية الهندسية.

3)  المُتغيِّر العشوائي الهندسي، وتوزيعه الاحتمالي.

4) التوقع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي.

 

 

أولًا: تجربة بيرنولي

هي عبارة عن تجربة عشوائية لها إحدى ناتجين يسمى الناتج موضع الاهتمام نجاح التجربة  والناتج الآخر فشل التجربة. 

 

أمثلة على تجربة بيرنولي:

 

مثال 1: إلقاء قطعة نقد منتظمة لها إحدى نتيجتين ظهور صورة أو ظهور الكتابة، فإذا كان اهتمامنا ظهور صورة، فإن ظهور الصورة يمثل نجاح التجربة وظهور الكتابة فشل التجربة. 

 

مثال 2: في تجربة رمي حجر نرد منتظم مرة واحدة، فإذا كان اهتمامنا ظهور عدد زوجي، فإن ظهور عدد زوجي يمثل نجاح التجربة وظهور عدد فردي فشل التجربة.

 

مثال 3: صندوق يحتوي على$\left(4\right)$ كرات بيضاء، و$\left(6\right)$ كرات سوداء والكرات جميعها متماثلة، إذا سحبت كرة عشوائيًا من الصندوق  فإن الناتج قد يكون كرة بيضاء أو كرة سوداء، فإذا كان اهتمامنا ظهور كرة بيضاء، فإن ظهور كرة بيضاء يعتبر نجاح التجربة وظهور كرة سوداء يعتبر فشلاً للتجربة.

 

مثال 4: أطلق صياد النار على هدف، إصابة الهدف نجاح التجربة، وعدم إصابة الهدف فشل للتجربة.

 

ثانيًا: التجربة الاحتمالية الهندسية

التجربة الاحتمالية الهندسية: هي تجربة بيرنولي إذا كررت عدة مرات وكانت كل محاولة مستقلة عن الأخرى للوصول لأول نجاح.

 

مفهوم أساسي أي تجربة عشوائية تتوافر فيها الشروط الأربعة الآتية تسمى تجربة احتمالية هندسية: 1) اشتمال التجربة على عدة محاولات مستقلة ومتكررة. 2) فرز النتائج في كل محاولة إلى نجاح أو فشل. 3) ثبات احتمال النجاح في كل محاولة. 4) التوقف عند أول نجاح.

 

مثال 1: أبين في ما إذا كانت تجربة إلقاء قطعة نقد منتظمة عدة مرات والتوقف عند ظهور صورة تجربة احتمالية هندسية.

الحل:

التجربة هي تجربة احتمالية هندسية لأنها تحقق الشروط الأربعة:

1) تكرار التجربة عدة مرات مستقلة.

2) فرز النتائج في كل محاولة إلى ناتجين فقط هما:النجاح (ظهور صورة)، أو الفشل (ظهور الكتابة).

3) احتمال النجاح (ظهور الصورة) ثابت في جميع المحاولات ويساوي$\frac{1}{2}$.

4) التوقف عند ظهور الصورة.

 

مثال 2: أبين في ما إذا كانت تجربة إلقاء حجر نرد منتظم عدة مرات حتى ظهور عدد زوجي تجربة احتمالية هندسية. 

الحل:

التجربة هي تجربة احتمالية هندسية لأنها تحقق الشروط الأربعة:

1) تكرار التجربة عدة مرات مستقلة.

2) فرز النتائج في كل محاولة إلى ناتجين فقط هما:النجاح (ظهور عدد زوجي)، أو الفشل (ظهور عدد غير زوجي).

3) احتمال النجاح (ظهور عدد زوجي) ثابت في جميع المحاولات ويساوي $\frac{1}{2}$.

4) التوقف عند ظهور عدد زوجي.

 

مثال 3: أبين في ما إذا كانت تجربة تدوير أحمد لقرص دائري مقسم إلى أربع قطاعات دائرية متطابقة وملونة بألوان مختلفة حتى يقف القرص ويكون رأس السهم عند اللون الأحمر تجربة احتمالية هندسية. 

الحل:

التجربة هي تجربة احتمالية هندسية لأنها تحقق الشروط الأربعة:

1) تكرار التجربة عدة مرات مستقلة.

2) فرز النتائج في كل محاولة إلى ناتجين فقط هما:النجاح (ظهور اللون الأحمر)، أو الفشل (عدم ظهور اللون الأحمر).

3) احتمال النجاح (ظهور اللون الأحمر) ثابت في جميع المحاولات ويساوي $\frac{1}{4}$.

4) التوقف عند ظهور اللون الأحمر.

 

مثال 4: أبين إذا كانت التجربة الآتية احتمالية هندسية أم لا:

صندوق يحتوي على $\left(4\right)$ كرات حمراء، $\left(6\right)$ كرات بيضاء جميعها متماثلة،أرادت ليلى سحب كرة من الصندوق لونها أبيض فكررت التجربة عدة مرات حتى ظهور كرة بيضاء، مع إعادة الكرة للصندوق إذا كانت غير بيضاء.

الحل:

التجربة هي تجربة احتمالية هندسية لأنها تحقق الشروط الأربعة:

1) تكرار التجربة عدة مرات مستقلة.

2) فرز النتائج في كل محاولة إلى ناتجين فقط هما:النجاح (ظهور اللون الأبيض)، أو الفشل (عدم ظهور اللون الأبيض).

3) احتمال النجاح (ظهور اللون الأبيض) ثابت في جميع المحاولات ويساوي $\frac{6}{10}$ لأن السحب مع الإرجاع.

4) التوقف عند ظهور اللون الأبيض.

 

 

أتحقق من فهمي

1) في تجربة إطلاق صياد النار على هدف عدة مرات لإصابته وكان احتمال إصابة الهدف في كل مرة $\left(0.6\right)$. هل التجربة تجربة احتمالية هندسية؟

الإجابة: نعم لأنها تحقق الشروط جميعها.

 

2) صندوق يحتوي على $\left(3\right)$ كرات بيضاء $\left(4\right)$ كرات زرقاء وجميعها متماثلة، أراد زيد سحب كرة زرقاء من الصندوق فكرر التجربة عدة مرات يسحب الكرة ولا يعيدها للصندوق ( بدون إرجاع)حتى ظهور كرة زرقاء.هل التجربة تجربة احتمالية هندسية؟

الإجابة: ليست تجربة احتمالية هندسية لأنها بدون إرجاع وهذا يسبب تغيرًا في احتمال النجاح(ظهور كرة زرقاء في كل سحبه) وبالتالي فإن احتمال النجاح غير ثابت.

 

 

ثالثًا: المُتغيِّر العشوائي الهندسي، وتوزيعه الاحتمالي

تعلمت سابقًا أن:

المُتغيِّر العشوائي:هو اقتران يربط كل قيمة للمُتغيِّر العشوائي باحتمال وقوعها.

 

 المُتغيِّر العشوائي الهندسي:

في التجربة الاحتمالية الهندسية، إذا دل المُتغيِّر $X$ على عدد المحاولات وصولاً إلى أول نجاح، فإن $X$ يسمى مُتغيِّرًا عشوائيًا هندسيًا.

ويعبر عنه بالرموز على النحو التالي:

$X~Geo\left(p\right)$، حيث $P$ احتمال النجاح

يأخذ $X$ القيم الآتية: $1,2,3,...$؛أي أنَّ:$X\in \left\{1,2,3,...\right\}$

 

مفهوم أساسي

إذا كان: $X~Geo\left(p\right)$، فإنَّ: $X\in \left\{1,2,3,...\right\}$، ويُعطى التوزيع الاحتمالي للمُتغيِّر العشوائي الهندسي $X$ بالقاعدة الآتية:

           $P\left(X=x\right)=P{\left(1-P\right)}^{x-1}$   

حيث: 

$x$ : عدد المحاولات وصولاً إلى أول نجاح.

$p$ : احتمال النجاح في كل محاولة.

 

 

مثال 1: إذا كان $X~Geo\left(0.7\right)$، فأجد كُلاً ممّا يأتي:

$1) P\left(X=4\right) 2) P\left(X\le 3\right) 3) P\left(X>2\right)$

الحل: 

                                                 $1) P\left(X=4\right)$

صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي	$P\left(X=x\right)=P{\left(1-P\right)}^{x-1}$
بتعويض$x=4 , P=0.7$	$P\left(X=4\right)=\left(0.7\right){\left(1-0.7\right)}^{4-1}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P\left(X=4\right)=\left(0.7\right){\left(0.3\right)}^3 \\ =\left(0.7\right)\left(0.027\right) \\ =0.0189 \end{gathered}$$

 

$2) P\left(X\le 3\right)$

احتمال الحوادث المتنافية	$P\left(X\le 3\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)$
باستعمال صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي	$P\left(X\le 3\right)=\left(0.7\right){\left(1-0.7\right)}^{1-1}+\left(0.7\right){\left(1-0.7\right)}^{2-1}+\left(0.7\right){\left(1-0.7\right)}^{3-1}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P\left(X\le 3\right)=\left(0.7\right){\left(0.3\right)}^0+\left(0.7\right){\left(0.3\right)}^1+\left(0.7\right){\left(0.3\right)}^2 \\ =0.7 + 0.21 + \left(0.7\right)\left(0.09\right) \\ =0.7 + 0.21 + 0.063 \\ =0.973 \end{gathered}$$

                                                                           

$3) P\left(X>2\right)$       

احتمال الحوادث المتنافية	$P\left(X>2\right)=P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+...$
احتمال المتممة	$$\begin{gathered} P\left(X>2\right)=1-P\left(X\le 2\right) \\ =1-\left(P(X=1)+P(X=2)\right) \end{gathered}$$
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي	$P\left(X>2\right)=1-\left(\left(0.7\right){\left(1-0.7\right)}^{1-1}+(0.7){(1-0.7)}^{2-1})\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P(X>2)=1-(\left(0.7\right){\left(0.3\right)}^0+\left(0.7\right)\left(0.3\right)) \\ =1-(0.7+0.21) \\ =1-0.91 \\ =0.09 \end{gathered}$$

 

مثال2: إذا كان $X~Geo\left(0.4\right)$، فأجد كُلاً ممّا يأتي:

$1) P\left(X=2\right) 2) P\left(X<3\right) 3) P\left(X>3\right)$

الحل: 

 $1) P\left(X=2\right)$ 

صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي	$P\left(X=x\right)=P{\left(1-P\right)}^{x-1}$
بتعويض  $x=2 , P=0.4$	$P\left(X=2\right)=\left(0.4\right){\left(1-0.4\right)}^{2-1}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P\left(X=2\right)=\left(0.4\right)\left(0.6\right) \\ =0.24 \end{gathered}$$

 

 

$2) P\left(X<3\right)$

احتمال الحوادث المتنافية	$P\left(X<3\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)$
باستعمال صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي	$P\left(X<3\right)=\left(0.4\right){\left(1-0.4\right)}^{1-1}+\left(0.4\right){\left(1-0.4\right)}^{2-1}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P(X<3) =(0.4){(0.6)}^0 + (0.4)(0.6) \\ =0.4 + 0.24 \\ =0.64 \end{gathered}$$

 

$3) P(X>3)$

احتمال الحوادث المتنافية	$P\left(X>3\right)=P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)+...$
احتمال المتممة	$$\begin{gathered} P(X>3)=1-P(X\le 3) \\ =1-\left(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\right) \end{gathered}$$
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي	$P(X>3)=1-(\left(0.4\right){\left(1-0.4\right)}^{1-1}+(0.4){(1-0.4)}^{2-1}+(0.4){(1-0.4)}^{3-1})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P(X>3)=1-(\left(0.4\right){\left(0.6\right)}^0+(0.4)(0.6)+(0.4){(0.6)}^2) \\ =1-(\left(0.4\right) + 0.24 + 0.144) \\ =1-0.784 \\ =0.216 \end{gathered}$$

 

أتحقق من فهمي

إذا كان $X~Geo\left(0.6\right)$، فأجد كلاً ممّا يأتي:

$a)P\left(X=5\right) b) P\left(X<3\right) c) P\left(X\ge 2\right)$

الإجابة:

$a) 0.00128 b) 0.96 c) 0.04$

 

مثال 3: من الحياة

أطلق سعيد عدة طلقات على عصفور لاصطياده، فإذا كان احتمال إصابة العصفور  في كل مرة ثابت ويساوي0.7 

1) أجد احتمال إصابة سعيد للعصفور في الطلقة الرابعة.

2) أجد احتمال إصابة سعيد للعصفور في أقل من أربع طلقات.

3)  أجد احتمال إصابة سعيد للعصفور في أكثر من ثلاث طلقات.

الحل:   

                                                $1) P\left(X=4\right)$

صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي	$P\left(X=x\right)=P{\left(1-P\right)}^{x-1}$
بتعويض $x=4 , P=0.7$	$P(X=4)=(0.7){(1-0.7)}^{4-1}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P(X=4)=(0.7){(0.3)}^3 \\ =(0.7)(0.027) \\ =0.0189 \end{gathered}$$

 

$2) P\left(X<4\right)$

احتمال الحوادث المتنافية	$P\left(X<4\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)$
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي	$P\left(X<4\right)=\left(0.7\right){\left(1-0.7\right)}^{1-1}+\left(0.7\right){\left(1-0.7\right)}^{2-1}+\left(0.7\right){\left(1-0.7\right)}^{3-1}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P\left(X<4\right)=\left(0.7\right){\left(0.3\right)}^0+\left(0.7\right){\left(0.3\right)}^1+\left(0.7\right){\left(0.3\right)}^2 \\ =0.7+0.21+0.063 \\ =0.973 \end{gathered}$$

 

 

مثال 4: من الحياة

يستخدم فادي فرن غاز لطهي الطعام، لكن فرن الغاز يحتاج لعدة محاولات لإشعاله بسبب خلل في مفتاحه، فإذا كان احتمال تشغيل الفرن في كل محاولة $\frac{3}{4}$، ومثَّل $X$ عدد محاولات فادي حتى يتمكن من تشغيل فرن الغاز لطهي الطعام، فأجد كُلاً ممّا يأتي: 

1) احتمال أنْ يتمكن فادي من تشغيل الفرن لطهي الطعام في المحاولة الثانية.

2) احتمال أنْ يتمكن فادي من تشغيل الفرن لطهي الطعام بعد  أكثر من 3 محاولات. 

الحل:

$1) P\left(X=2\right)$

صيغة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي الهندسي	$P(X=x)=P{(1-P)}^{x-1}$
بتعويض $x=2 , P=\frac{3}{4}$	$P(X=2)=\left(\frac{3}{4}\right){(1-\frac{3}{4})}^{2-1}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P(X=2)=\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right) \\ =\frac{3}{16} \end{gathered}$$

 

$2) P(X>3)$

احتمال الحوادث المتنافية	$P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)+...$
احتمال المتممة	$$\begin{gathered} P(X>3)=1-P(X\le 3) \\ P(X>3)=1-\left(P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)\right) \end{gathered}$$
باستعمال صيغة احتمال المتغير العشوائي الهندسي	$P(X>3)=1-(\left(\frac{3}{4}\right){(1-\frac{3}{4})}^{1-1}+\left(\frac{3}{4}\right){(1-\frac{3}{4})}^{2-1}+\left(\frac{3}{4}\right){(1-\frac{3}{4})}^{3-1})$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} P(X>3)=1-(\left(\frac{3}{4}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^0+\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{3}{4}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^2) \\ =1-(\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\left(\frac{3}{4}\right)\left(\frac{1}{16}\right)) \\ =1-(\frac{3}{4}+\frac{3}{16}+\frac{3}{64})=1-(\frac{48}{64}+\frac{12}{64}+\frac{3}{64}) \\ =1-\frac{63}{64}=\frac{64}{64}-\frac{63}{64} \mathrm{مقامات} \mathrm{توحيد} \\ =\frac{1}{64} \end{gathered}$$

 

 

أتحقق من فهمي

في دراسة لقسم الجودة في شركة إنتاج إجهزة حاسوب، تبيَّن أنَّ %3 من الأجهزة بها عيبًا مصنعيًا. إذا مثَّل $X$ عدد الأجهزة التي سيفحصها مُراقب الجودة حتى إيجاد أول جهاز معيب، فأجد كُلاً ممّا يأتي:

1) احتمال أنْ يكون  الجهاز السادس أول جهاز معيب يجده مُراقب الجودة. الإجابة: 0.026

2) احتمال أنْ يفحص مُراقب الجودة أكثر من 3 أجهزة حتى يجد أول جهاز مُعيب. الإجابة: 0.913

 

 

رابعًا: التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي

تذكر أنَّ التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي $X$ هو:                                        $E\left(X\right)=\sum _{}x.P\left(x\right)$   

مفهوم أساسي

إذا كان$X~Geo\left(p\right)$، فإنَّ التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي $X$ يُعطى بالقاعدة الآتية:

                               $E\left(X\right)=\frac{1}{p}$ 

حيث$p$ احتمال النجاح في كل محاولة.

 

 

مثال 5: من الحياة

يتدرَّب سيف على إصابة هدف ثابت بإطلاق النار عليه. إذا كان احتمال إصابته الهدف $0.25$ في كل مرة، فكم طلقة يُتوقع أنْ يطلقها سيف على الهدف حتى يصيب الهدف أول مَرَّة؟

الحل:

صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي	$E\left(X\right)=\frac{1}{p}$
بتعويض $p=0.25$	$E\left(X\right)=\frac{1}{0.25}$
بالتبسيط	$E\left(X\right)=\frac{100}{25}=4$

إذًا، يُتوقع أنْ يطلق سيف على الهدف 4 طلقات حتى يصيب الهدف أول مَرَّة.

 

مثال 5: من الحياة

يلعب خالد لعبة الحظ (فوز أو خسارة)، فإذا كان احتمال فوزه في كل مرة $0.2$ ، فكم لعبة تتوقع أنْ يلعب حتى يفوز أول مرة؟

الحل:

صيغة التوقُّع للمُتغيِّر العشوائي الهندسي	$E\left(X\right)=\frac{1}{p}$
بتعويض $p=0.2$	$E\left(X\right)=\frac{1}{0.2}$
بالتبسيط	$E\left(X\right)=\frac{10}{2}=5$

إذًا، يُتوقع أنْ يلعب خالد 5 مرات حتى يفوز أول مرة.

 

أتحقق من فهمي

في تجربة إلقاء حجر نرد منتظم بشكل مُتكرِّر، والتوقُّف عند ظهور العدد 2، كم مرة يُتوقَّع أنْ يُلقي حجر النرد؟

الإجابة: يُتوقَّع أنْ يُلقى حجر النرد 6 مرات حتى يظهر العدد 2.