التوزيع الطبيعي

هو منحنى تكراري يستخدم لنمذجة البيانات العددية المتصلة التي يتم اختيارها عشوائيًا في مواقف حياتية مختلفة بحيث يكون عدد البيانات كبير جدًا والذي يمتاز بما يلي:

منحنى متصل له شكل الجرس

تطابق الوسط الحسابي والوسيط والمنوال ، ويتوسط البيانات.

تماثل البيانات حول الوسط الحسابي.

اقتراب المنحنى عند طرفيه من المحور الأفقي x دون أن يمسّه.

المساحة الكلية أسفل المنحنى الطبيعي المعياري هي 1. 

ويعتمد المنحنى الطبيعي على قيمة كل من الوسط الحسابي ($\mu$) والانحراف المعياري ($\sigma$) حيث:

* زيادة الوسط الحسابي, تؤدي إلى انسحاب أفقي نحو اليمين

* زيادة الانحراف المعياري تؤدي إلى زيادة انتشار وتوسع المنحنى.

لاحظ الشكل التالي:

 

 

 

 

 

 

 

 

إذا اتخذت مجموعة من البيانات شكل المنحنى الطبيعي بوسط حسابي $\mu$  وانحراف معياري $\sigma$ فإنه ما يقارب:

أولاً :

68% من البيانات تقع بين $\mu +\sigma و \mu -\sigma$

(لا يزيد البعد بينها وبين الوسط الحسابي عن انحراف معياري واحد)

ثانياً :

95% من البيانات تقع بين $\mu +2\sigma و \mu -2\sigma$ 

(لا يزيد البعد بينها وبين الوسط الحسابي عن انحرافين معياريين)

ثالثاً : 

 99.7% من البيانات تقع بين $\mu +3\sigma و \mu -3\sigma$  

(لا يزيد البعد بينها وبين الوسط الحسابي عن ثلاثة انحرافات معيارية)

ويمكن تلخيص القاعدة التجريبية بالشكل التالي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 إذا اتخذت كتل مجموعة من طلبة الصف التاسع شكل المنحنى الطبيعي, فجد كلًا مما يلي:

1)  النسبة المئوية للطلبة الذين تقل كتلتهم عن الوسط الحسابي.

الحل: بسبب التماثل حول الوسط الحسابي ، فإن 50% من الطلبة تقل كتلهم عن الوسط الحسابي.كما في الشكل ادناه.

2) النسبة المئوية للطلبة الذين تزيد كتلهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد على انحراف معياري واحد.

الحل: لاحظ الشكل أدناه:

34% من الطلبة تزيد كتلهم عن الوسط الحسابي بما لا يزيد عن انحراف معياري واحد.

3) نسبة الطلبة الذين تقل كتلهم عن الوسط الحسابي بمقدار لا يزيد عن انحرافين معياريين ، أو تزيد عليه بمقدار لا يزيد عن ثلاثة انحرافات معيارية.

الحل: لاحظ الشكل أدناه:

النسبة هي: $49.85\%+47.5\%=97.35\%$

4) النسبة المئوية للطلبة الذين تزيد كتلهم على الوسط الحسابي بمقدار لا يقل عن انحراف معياري واحد:

الحل: لاحظ الشكل أدناه:

النسبة هي: $50\%-34\%=16\%$

أولاً: المتغير العشوائي المنفصل:

هو متغير عشوائي يأخذ قيمًا معدودة ومن الأمثلة عليه:

المتغير العشوائي الهندسي والمتغير العشوائي ذي الحدين

مثل: عدد الأشجار التي ستنمو عند زراعة 10000 شجرة.

ثانياً : المتغير العشوائي المتصل:

هو متغير عشوائي يأخذ قيمًا متصلة ضمن فترة معينة من الأعداد الحقيقية ومن الأمثلة عليه: التوزيع الطبيعي.

مثل: طول الشجرة يتم اختيارها عشوائيًا من أشجار غابة ما.

فالتوزيع الطبيعي: هو التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتصل x الذي يتخذ تمثيله البياني شكل المنحنى الطبيعي ،

ويسمى هذا المتغير العشوائي: متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا ويرمز له بالرمز: $X~N(\mu ,{\sigma }^2)$

حيث:$\mu$: الوسط الحسابي

        $\sigma$: الانحراف المعياري

       ${\sigma }^2$: التباين

ويمكن استخدام القاعدة التجريبية لإيجاد احتمال حادث معين لمتغير عشوائي طبيعي, والتي تمثل النسبة المئوية للمساحة تحت المنحنى.

 يدل المتغير العشوائي x على سعة علبة عصير (بالميلمتر) ينتجه مصنع معين حيث: $X~N(250,32)$

فجد كلًا مما يلي:

$P(x<250) (1$

الحل: بسبب التماثل حول الوسط الحسابي:  $P(x<250)=0.5$

$P(247>x>265) (2$

الحل:

$$\begin{gathered} 247=250-3=\mu -\sigma \\ 265=250+6=\mu +2\sigma \\ P(247<X<256)=0.34+.475 \\ =0.815 \end{gathered}$$

$P(x<244) (3$

الحل:

$$\begin{gathered} 244=250-6 \\ =\mu -2\sigma \\ P(X<244)=0.5-0.475 \\ =0.025 \end{gathered}$$

التوزيع  الطبيعي المعياري: هو توزيع طبيعي وسطه الحسابي (0) وانحرافه المعياري (1)و ويرمز للمتغير العشوائي الطبيعي المعياري بالرمز:$Z~N(0,1)$

و يمكن استخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد المساحة تحت المنحنى الطبيعي المعياري (وهي نفسها الاحتمال)

فتكون المساحة المظللة تساوي احتمال قيم المتغير العشوائي الطبيعي المعياري Z التي تقل عن (أو تساوي) القيمة المعيارية Z

المساحة المظللة= $P(Z<z) \equiv P(Z\le z)$

ونلاحظ أن الجدول يعطي المساحة تحت المنحمى الطبيعي المعياري على يسار قيم Z الموجبة ،

لذلك نستخدم خصائص المنحنى الطبيعي المعياري والتماثل لقيم Z السالبة ، اعتمادًا على المفاهيم التالية:

(حيث $Z , Z_1 , Z_2$ قيمة موجبة)

$1) P(Z>z)=1-P(Z<z)$

 

 

$$\begin{gathered} 2) P(Z<-z)=P(Z>z) \\ =1-P(Z<z) \end{gathered}$$

 

$3) P(Z>-z)=P(Z<z)$

$4) P(z_1<Z<z_2)=P(Z<z_2)-P(Z<z_1)$

$$\begin{gathered} 5) P(-z_2<Z<-z_1)=P(z_1<Z<z_2) \\ =P(Z<z_2)-P(Z<z_1) \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 6\left)P\right(-z_1<Z<z_2)=P(Z<z_2)-P(Z<-z_1) \\ =P(Z<z_2)+P(Z<z_1)-1 \end{gathered}$$

 

مستخدمًا جدول التوزيع الطبيعي المعياري ، جد كلًا مما يلي:

$$\begin{gathered} 1) P(Z\le 1.7) \\ Solution: \\ P(Z\le 1.7)=0.9554 directly \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 2) P(Z\ge 1.7) \\ Solution: \\ P(Z\le 1.7)=1-0.9554=0.0446 directly \end{gathered}$$

 

 

$$\begin{gathered} 3) P(Z>-1.08) \\ Solution: \\ P(Z>-1.08)=P(Z<1.08)=0.8599 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 4) P(Z<-0.97) \\ Solution: \\ P(Z<-0.97)=P(Z>0.97) \\ =1- P(Z<0.97) \\ =1-0.8340=0.1660 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 5) P(-1<Z<0.5) \\ Solution: \\ P(-1<Z<0.5)=P(Z<0.5)-P(Z<-1) \\ =P(Z<0.5)-\left(1- P(Z<1)\right) \\ =0.6915+0.8413-1=0.5328 \end{gathered}$$

 

 

يمكن تحويل المتغير العشوائي الطبيعي غير المعياري  $(X~N(\mu ,{\sigma }^2\left)\right)$ إلى متغير طبيعي معياري  $(Z~N(0,1\left)\right)$   

باستخدام القيم المعيارية Z المقابلة للقيم الحقيقية X حسب الصيغة: $Z=\frac{x-\mu }{\sigma }$

بحيث نستخدم جدول التوزيع الطبيعي المعياري لإيجاد الاحتمال.

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا، حيث: $X~N(40,25)$

فجد كلًا مما يلي:

 $$\begin{gathered} 1) P(X\ge 42.5) \\ Solution: \\ P(X\ge 42.5)=P(Z\ge \frac{42.5-40}{5}) \\ =P(Z\ge 0.5) \\ =1-P(Z\le 0.5) \\ =1-0.6915=0.3085 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 2) P(35<X<40) \\ Solution: \\ P(35<X<40)=P(\frac{35-40}{5}<Z<\frac{40-40}{5}) \\ =P(-1<Z<0) \\ =P(Z<0)-P(Z<-1) \\ =P(Z<0)+P(Z<1)-1 \\ =0.5+0.8413-1=0.3413 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} 3) P(X\le 33) \\ Solution: \\ P(X\le 33)=P(Z\le \frac{33-40}{5}) \\ =P(Z\le -1.4) \\ =1-P(Z\le 1.4) \\ =1-0.9192=0.0807 \end{gathered}$$

     

في دراسة شملت طلبة إحدى الجامعات, كان معدل الطلبة يتبع توزيعًا طبيعيًا بوسط حسابي 73 ، وانحراف معياري 8 علامات.إذا اختير طالب عشوائيًا، ما احتمال:

1)أن يكون معدله أعلى من 75:

$$\begin{gathered} Solution: \\ \sigma =8 , \mu =73 \\ P(X>75)=P(Z>\frac{75-73}{8}) \\ =P(Z>0.25) \\ =1-P(Z\le 0.25) \\ =1-0.5987 \\ =0.4013 \end{gathered}$$     

2)أن يكون معدله أعلى من 69.

 $$\begin{gathered} Solution: \\ \sigma =8 , \mu =73 \\ P(X>69)=P(Z>\frac{69-73}{8}) \\ =P(Z>-0.5) \\ =P(Z<0.5) \\ =0.6915 \end{gathered}$$

3) أن يكون معدله محصورًا بين 75 و 83.

$$\begin{gathered} Solution: \\ \sigma =8 , \mu =73 \\ P(75<X<83)=P(\frac{75-73}{8}<Z<\frac{83-73}{8}) \\ =P(0.25<Z<1.25) \\ =P(Z<1.25)-P(Z<0.25) \\ =0.8944-0.5987 \\ =0.2957 \end{gathered}$$

 

عند معرفة الاحتمال ، نجد قيم Z التي تقابل هذا الاحتمال باستخدام جدول التوزيع الطبيعي المعياري وخصائصه ، ثم نجد قيمة X المقابلة لقيمة Z الناتجة.

إذا كان X متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا وسطه الحسابي 25 وانحرافه المعياري 7 فجد قيمة x التي تحقق الاحتمال المعطى في كل مما يلي:

    $1) P(X<x)=0.994$

 

 

 

الحل:

لاحظ أن $0.994>0.5$  (وأن المساحة على اليسار) ، مما يعني أن Z المقابلة لقيمة x هي قيمة موجبة

من جدول التوزيع الطبيعي المعياري, نجد أن هذه المساحة تقابل $Z=2.51$ Z=2.51

           

           $$\begin{gathered} Solution: \\ Z=\frac{x-\mu }{\sigma } \\ 2.51=\frac{x-25}{7} \\ x=42.57 \end{gathered}$$

 

$2) P(X<x)=0.3446$

          الحل:

لاحظ أن: $0.3446<0.5$  وأن المساحة على اليسار مما يعني أن Z سالبة 

       

$$\begin{gathered} Solution: \\ P(Z<-z)=1-P(Z<z) \\ 0.3446=1-P(Z<z) \\ P(Z<z)=0.6554 \\ Z=0.4 \Rightarrow -Z=-0.4 \\ -Z=\frac{x-\mu }{\sigma } \\ -0.4=\frac{x-25}{7} \Rightarrow x=22.2 \end{gathered}$$

 

$3) P(X>x)=0.79$

 

الحل: لاحظ أن: $0.79>0.5$ ، وأن المساحة على اليمين مما يعني أن قيمة z قيمة سالبة.

          

 

من الجدول نجد أن أقرب قيمة إلى 0.79 هي 0.7910 تقابل

 

         $$\begin{gathered} Solution: \\ P(Z>-z)=P(Z<z) \\ Z=-0.81 \\ -0.81=\frac{x-25}{7} \Rightarrow x=19.33 \end{gathered}$$           

         $4) P(X\ge x)=0.063$   

 

الحل: لاحظ أن:  0.5>0.063  ، وأن المساحة على اليمين, مما يعني أن قيمة z موجبة

 

         

            $$\begin{gathered} Solution: \\ P(Z>z)=1-P(Z\le z) \\ 0.063=1-P(Z\le z)=0.9370 from the table \\ 1.53=\frac{x-25}{7} \Rightarrow x=35.71 \end{gathered}$$

 

يمكن توظيف الخصائص السابقة في حل مسائل عملية وإيجاد الوسط الحسابي أو الانحراف المعياري لتوزيع طبيعي.

 

يمثل $X~N(500,{\sigma }^2)$   المتغير العشوائي الطبيعي لكتلة حبة دواء (بالميلغرام) التي ينتجها أحد مصانع الأدوية إذا زادت كتلة 4% منها على mg 510 .

فجد الانحراف المعياري لكتل حبات الدواء.

الحل:

لاحظ أن 0.5 >0.04 ، وأن المساحة على اليمين مما يعني أن قيمة z موجبة

 

$4\%=0.04 , \mu =500 mg$

     

$$\begin{gathered} Solution: \\ P(Z>z)=1-P(Z\le z) \\ 0.05=1-P(Z\le z) \\ P(Z\le z)=0.96 \\ from the table: 0.96 \approx 0.9599 \\ \Rightarrow Z=1.75 \\ z=\frac{x-\mu }{\sigma } \\ 1.75=\frac{510-500}{\sigma } \\ \sigma =\frac{10}{1.75} \Rightarrow \sigma \approx 5.71 \end{gathered}$$