الدرس الرابع:التوزيع الطبيعي المعياري

Standard Normal Distribution

سنتعرف في درس التوزيع الطبيعي المعياري  إلى:

1- منحنى التوزيع الطبيعي المعياري، وخصائصه.

2- إيجاد احتمالات المُتغير العشوائي الطبيعي المعياري باستخدام الجدول.

التوزيع الطبيعي المعياري

يسمى المُتغير العشوائي الطبيعي الذي وسطه الحسابي $0$ وانحرافه المعياري $1$ بالتوزيع الطبيعي المعياري ويُعبر عنه بالرموز بالصورة الآتية:

$Z~N\left(0, 1\right)$ ، ويُمثَّل منحناه بيانيًا بالشكل الآتي:

وفي الشكل تُمثل مساحة المنطقة المظللة احتمال قيم المتغير العشوائي الطبيعي المعياري $Z$ التي تزيد عن القيمة المعيارية $Z=1$ وبالرموز : $P\left(Z>1\right)$.

خصائص التوزيع الطبيعي المعياري

1) وسطه الحسابي $0$ وانحرافه المعياري $1$ 

2) منحنى التوزيع الطبيعي المعياري متماثل حول الوسط الحسابي.

3) المساحة تحت منحنى التوزيع الطبيعي تساوي $1$ وحدة مربعة.

 

أولًا: احتمال قِيَم المُتغيِّر العشوائي الطبيعي المعياري $Z$.

احتمال قِيَم المُتغيِّر العشوائي الطبيعي المعياري$Z$ التي تقل عن (أو تساوي)القيمة المعيارية $z$ هي: $P\left(Z\le z\right)$.

    

1) المساحة (الاحتمال) تحت القيمة المعيارية الموجبة من الجدول مباشرة    

مثال 1: أجد $P\left(Z<0.3\right)$

الحل:

من الجدول مباشرة نذهب لعمود $Z$ في الجدول ونبحث تحته عن $0.3$ فيكون الاحتمال هو العدد المقابل لها في نفس الصف وهو $0.6179$

إذًا، $P(Z<0.3)=0.6179$

       

مثال 2: أجد $P(Z<0.35)$

الحل:

من الجدول مباشرة نذهب لعمود $Z$ في الجدول ونبحث تحته عن$0.3$ ثم نذهب الى الصف الاول في الجدول وإلى العدد $0.05$  ويكون الجواب هو العدد الموجود في تقاطع صف$0.3$ وعمود $0.05$ وهو $0.6368$

إذًا، $P(Z<0.35)=0.6368$

أتحقق من فهمي

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$a) P(Z<1.3) b) P(Z<2.13)$

الإجابة:

$a)P(Z<1.3)=0.9032$

$b)P(Z<2.13)=0.9834$

2) المساحة (الاحتمال) فوق القيمة المعيارية الموجبة

          

لإيجاد المساحة فوق القيمة المعيارية الموجبة:  1 مطروحا منه  المساحة تحت القيمة المعيارية الموجبة

بالرموز:

$P\left(Z>z\right)=1-P\left(Z<z\right)$

 

مثال 1: أجد $P(Z>1.2)$

الحل: 

باستعمال الخصائص	$P(Z>1.2)=1-P(Z<1.2)$
باستعمال الجدول	$P(Z>1.2)=1-0.8849$
بالتبسيط	$P(Z>1.2)=0.1151$

 

مثال 2: أجد $P(Z>1.52)$

باستعمال الخصائص	$P(Z>1.52)=1-P(Z<1.52)$
باستعمال الجدول	$=1-0.9357$
بالتبسيط	$=0.0643$

 

أتحقق من فهمي

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$a) P(Z>0.3) b) P(Z>1.63)$

الإجابة:

$a)P\left(Z>0.3\right)=0.3821$

$b)P(Z>1.63)=0.0516$

 

3) المساحة (الاحتمال) تحت القيمة المعيارية السالبة

         

المساحة (الاحتمال) تحت القيمة المعيارية السالبة = المساحة (الاحتمال) فوق القيمة المعيارية الموجبة

    

بالرموز:

$$\begin{gathered} P(Z<-z)=P(Z>z) \\ =1-P(Z<z) \end{gathered}$$

 

مثال 1: أجد $P(Z<-0.7)$

الحل:

باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} P(Z<-0.7) =P(Z>0.7) \\ =1-P(Z<0.7) \end{gathered}$$
باستعمال الجدول	$=1-0.7580$
بالتبسيط	$=0.2420$

 

مثال 2: أجد $P(Z<-1.4)$

الحل:

باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} P(Z<-1.4)=P(Z>1.4) \\ =1-P(Z<1.4) \end{gathered}$$
باستعمال الجدول	$P(Z<-1.4)=1-0.9192$
بالتبسيط	$P(Z<-1.4)=0.0808$

 

مثال 3: أجد $P(Z<-1.36)$

الحل:

باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} P(Z<-1.36)=P(Z>1.36) \\ =1-P(Z<1.36) \end{gathered}$$
باستعمال الجدول	$=1-0.9131$
بالتبسيط	$=0.0869$

 

أتحقق من فهمي

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$a) P(Z<-2.7) b) P(Z<-1.23)$

الإجابة:

$a)P(Z<-2.7)=0.0035$

$b)P(Z<-1.23)=0.1093$

 

4) المساحة (الاحتمال) فوق القيمة المعيارية السالبة

        

المساحة (الاحتمال) فوق القيمة المعيارية السالبة = المساحة (الاحتمال) تحت القيمة المعيارية الموجبة

             

بالرموز:

$P(Z>-z)=P(Z<z)$

 

مثال 1: أجد $P(Z>-0.8)$

الحل:

باستعمال الخصائص	$P(Z>-0.8)=P(Z<0.8)$
باستعمال الجدول	$=0.7881$

 

مثال 2: أجد $P(Z>-2.53)$

الحل:

باستعمال الخصائص	$P(Z>-2.53)=P(Z<2.53)$
باستعمال الجدول	$=0.9943$

 

أتحقق من فهمي

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$a) P(Z>-1.5) b) P(Z>-2.47)$

الإجابة:

$a)P(Z>-1.5)=0.9332$

$b)P(Z>-2.47)=0.9932$

 

5) المساحة(احتمال) القيم التي تقع بين قيمتين معياريتين

          

احتمال القيم التي تقع بين قيمتين معياريتين = احتمال القيم التي تقع تحت القيمة المعيارية الكبرى مطروحا منه  احتمال القيم التي تقع تحت القيمة المعيارية الصغرى

بالرموز:

$P\left(z_1<Z<z_2\right)=P\left(Z<z_2\right)-P\left(Z<z_1\right)$

 

مثال 1: أجد $P(1<Z<1.5)$

الحل:

باستعمال الخصائص	$P(1<Z<1.5)=P(Z<1.5)-P(Z<1)$
باستعمال الجدول	$=0.9332-0.8413$
بالتبسيط	$=0.0919$

 

مثال 2: أجد $P(-1.5<Z<-1)$

الحل:

باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} P(-1.5<Z<-1)=P(Z<-1)-P(Z<-1.5) \\ =P(Z>1)-P(Z>1.5) \\ =(1-P\left(Z<1\right))-(1-P\left(Z<1.5\right)) \end{gathered}$$
باستعمال الجدول	$=(1-0.8413)-(1-0.9332)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.1587-0.0668 \\ =0.0919 \end{gathered}$$

 

مثال 3: أجد$P(-1.25<Z<2.4)$

الحل:

باستعمال الخصائص	$$\begin{gathered} P(-1.25<Z<2.4)=P(Z<2.4)-P(Z<-1.25) \\ =P(Z<2.4)-P(Z>1.25) \\ =P(Z<2.4)-(1-P(Z<1.25\left)\right) \end{gathered}$$
باستعمال الجدول	$=0.9918-(1-0.8944)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} =0.9918-0.1056 \\ =0.8862 \end{gathered}$$

أتحقق من فهمي

أجد كُلاًّ ممّا يأتي، مستعملاً جدول التوزيع الطبيعي المعياري:

$a) P(0.5<Z<1.3) b) P(-1<Z<1.5)$

الإجابة: 

$a) P(0.5<Z<1.3)=0.2117$

$b) P(-1<Z<1.5)=0.7745$

ملخص المفهوم

إيجاد احتمال المُتغيِّر العشوائي الطبيعي المعياري

إذا كان: $Z~N\left(0, 1\right)$، فإنَّ: 

$1) P\left(Z>z\right)=1-P\left(Z<z\right)$

         

$2) P\left(Z<-z\right)=1-P\left(Z<z\right)$

          

       $3)P\left(Z>-z\right)=P\left(Z<z\right)$

            

$4) P\left(z_1<Z<z_2\right)= P\left(Z<z_2\right)-P\left(Z<z_1\right)$

             

ثانيًا: إيجاد قيمة المُتغيِّر العشوائي إذا عُلِم الاحتمال

مثال 1:إذا كان $P\left(Z<a\right)=0.8159$، فأجد قيمة $a$.

الحل:

    

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد $0.8159$ داخل الجدول فنجده تحت عمود $0.00$ ويقابل العدد $0.9$ تحت عمود $Z$

       

إذًا، $a=0.9$

مثال 2:إذا كان: 

$P(Z<a)=0.7967$، فأجد قيمة $a$.

الحل:  

 نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد $0.7967$ داخل الجدول فنجده تحت عمود $0.03$ ويقابل العدد $0.8$ تحت عمود $Z$.

إذًا،$a=0.83$

مثال 3:إذا كان: $P(Z<a)=0.1131$، فأجد قيمة $a$.

الحل: 

نلاحظ أن الاحتمال (المساحة) المعطى أقل من$0.5$  وهذا يعني أن $a$ تقع على يسار الوسط الحسابى أي أن: $P\left(Z<a\right)=P(Z<-z)$   كما في الشكل الآتي:                                            

ولإيجاد $a$ نتبع الخطوات الآتية:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي	$$\begin{gathered} P\left(Z<-z\right)=P\left(Z>z\right) \\ =1-P\left(Z<z\right) \end{gathered}$$
بتعويض $P(Z<-z)=0.1131$	$0.1131 =1-P(Z<z)$
بحل المعادلة	$$\begin{gathered} P(Z<z)=1-01131 \\ =0.8869 \end{gathered}$$

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد $0.8869$ ونجده يقع تحت العمود $0.01$ ويقابل العدد $1.2$الموجود تحت العمود $Z$

إذًا، $a=-1.21$

مثال 4:إذا كان: $P(Z<a)=0.27$، فأجد قيمة $a$.

الحل: 

نلاحظ أن الاحتمال (المساحة) المعطى أقل من $0.5$  وهذا يعني أن $a$ تقع على يسار الوسط الحسابى أي أن:$P(Z<a)=P(Z<-z)$ كما في الشكل الآتي:

                                   

ولإيجاد $a$ نتبع ما يلي:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي	$$\begin{gathered} P(Z<-z)=P(Z>z) \\ =1-P(Z<z) \end{gathered}$$
بتعويض$P(Z<-z)=0.27$	$0.27=1-P(Z<z)$
بحل المعادلة	$$\begin{gathered} P(Z<z)=1-0.27 \\ =0.73 \end{gathered}$$

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد $0.7300$ فلا نجده نأخذ العدد الأقل منه مباشرة وهو $0.7291$ حيث يقع تحت العمود $0.01$ ويقابل العدد $0.6$ الذي يقع تحت العمود $Z$

إذًا، $a\approx -0.61$

 

مثال 5:إذا كان:$P(Z>a)=0.9495$، فأجد قيمة $a$.

الحل:

نلاحظ أن الاحتمال (المساحة) المعطى أكبر من$0.5$ وهذا يعني أن $a$ تقع على يسار الوسط الحسابي أي أن $a=-z$ , $P(Z>a)=P(Z>-z)$ كما في الشكل الآتي:

              

ولإيجاد $a$ نتبع ما يلي:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي	$$\begin{gathered} P(Z>a)=P(Z>-z) \\ =P(Z<z) \end{gathered}$$
بتعويض$P(Z>a)=0.9495$	$0.9495=P(Z<z)$
بإعادة الترتيب	$P(Z<z)=0.9495$

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد $0.9495$ فنجده يقع تحت العمود $0.04$ ويقابل العدد $1.6$الذي يقع تحت العمود $Z$

إذًا،$a=-1.64$

 

مثال 5:إذا كان:$P(Z>a)=0.0721$، فأجد قيمة $a$.

الحل:

نلاحظ أن الاحتمال (المساحة) المعطى أقل من $0.5$ لكن $a$ تقع على يمين الوسط الحسابي كما في الشكل الآتي

        

ولإيجاد $a$ نتبع ما يلي:

باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي	$$\begin{gathered} P(Z>a)=P(Z>z) \\ =1-P(Z<z) \end{gathered}$$
بتعويض$P(Z>a)=0.0721$	$0.0721=1-P(Z<z)$
بحل المعادلة	$$\begin{gathered} P(Z<z)=1-0.0721 \\ =0.9279 \end{gathered}$$

نذهب إلى الجدول ونبحث عن العدد $0.9279$ فنجده يقع تحت العمود $0.06$  ويقابل العدد $1.4$الذي يقع تحت العمود $Z$

إذًا، $a=1.46$

أتحقق من فهمي

a) إذا كان: $P(Z<a)=0.9370$، فأجد قيمة $a$.

الجواب:$a=1.53$

b) إذا كان:$P(Z<a)=0.2946$ فأجد قيمة $a$. 

الجواب:$a=-0.54$

c) إذا كان:$P(Z>a)=0.9732$  فأجد قيمة $a$.

الجواب:$a=-1.93$

d) إذا كان:$P(Z>a)=0.35$، فأجد قيمة $a$.

الجواب:$a=0.38$