التناسب الطردي

مفاهيمٌ أساسيّة 

تمثّلُ العلاقةُ بينَ الكمّيتَينِ المتغيّرتَينِ x,y  تناسبًا طرديًّا إذا كانَتِ النسبةُ بينَ جميعِ قِيَمِهِما ثابتةً ولتكن k حيثُ , k ≠0  بحيثُ تؤدي الزيادةُ في إحدى الكمّيتَينِ إلى زيادةِ الأُخرى وكذلكَ العكسُ ، و يُسمّى k ثابتَ التناسُبِ وهو يمثل معدل الوحدة 

التناسبُ الطرديُّ هُوَ علاقةٌ بينَ المتغيرَينِ x,y  تكونُ فيها النسبةُ y : x ثابتةً

 $\mathbf{k}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$ حيث k ≠0 

وَتمثّلُ المعادلةُ y = k x معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ.

 

مثال 1: يمثّلُ الجدولُ المجاورُ علاقةً بينَ المتغيّرَينِ x,y 

y	x
8	1
16	2
24	3
??	10

1) أبيّنُ أنَّ التناسُبِ y وَ x متناسبانِ طرديًّا، ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسب k

أَجِدُ النسبةَ $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$ لِلقيمِ المتناظرةِ جميعِها

$\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}} \Rightarrow \frac{8}{1}=8 , \frac{16}{2} = 8 , \frac{24}{3} = 8$

النسبةُ y : x  ثابتةً ، اذن y,x  متناسبانِ طرديًّا، وثابتُ التناسُبِ k=8

2) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ، ثم أَجِدُ القيمةَ المجهولةَ في الجدولِ 

     $\mathrm{y}=8\mathrm{x}$                أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ

   $\mathrm{y}=8\left(10\right)$               أُعوّضُ X=10 في المعادلةِ

        $\mathrm{y}=80$              أَجِدُ الناتجَ

 

مثال 2: منَ الحياةِ يمثّلُ الجدولُ المجاورُ علاقةَ تناسُبٍ بينَ عددِ السيّاراتِ في محطةِ غسيلٍ  للسيّاراتِ وَالمبلغِ المستحَقِّ مقابلَ تقديمِ الخدمةِ:

المبلغ JD	عدد السيارات
20	5
40	10
60	15
80	20

1) أبيّنُ أنَّ عددَ السيّاراتِ والمبلغَ متناسبانِ طرديًّا، ثمَّ أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ K

$\frac{\mathrm{المبلغ}}{\mathrm{السيارات} \mathrm{عدد} } \Rightarrow \frac{20}{5}=4 , \frac{40}{10} = 4 , \frac{60}{15} = 4 , \frac{80}{20} = 4$

.k = النسبةُ بينَ جميعِ القِيَمِ ثابتةٌ، إذنْ، المبلغُ وعددُ السيّاراتِ متناسبانِ طرديًّا، وثابتُ التناسُبِ 4

2) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ.

y = 4x

يُمكنُنا إيجادُ ثابتِ التناسُبِ لعلاقةِ تناسُبٍ طرديٍّ ممثَّلةٍ بيانيًّا:

1) بتحديدِ قيمةِ y عندَما تكونُ x=1 

2) إيجادِ معدَّلِ الوحدةِ لأيِّ نقطةٍ على التمثيلِ البيانيِّ.

 

مثال 3: يبيّنُ التمثيلُ البيانيُّ المجاورُ العلاقةَ بينَ الزمنِ بالدقائقِ والسُّعراتِ الحراريةِ الّتي يحرقُها شخصٌ في أثناءِ ممارستِهِ التمارينَ الرياضيةَ:
1) أبيّنُ أنَّ العلاقةَ تمثّلُ تناسبًا طرديًّا.
تمثّلُ العلاقةُ في التمثيلِ البيانيِّ المجاورِ علاقةَ تناسُبٍ طرديٍّ؛ لأنَّ النقاطَ الممثَّلةَ تقعُ على مستقيمٍ يمرُّ بنقطةِ الأصلِ.

2) أَجِدُ ثابتَ التناسُبِ k

الطريقةُ 1: لإيجادِ ثابتِ التناسُبِ k أحددُ قيمةَ y عندَما x=1

إذنْ، ثابتُ التناسُبِ k=10 

الطريقةُ 2: أختارُ النقطةَ (2,20)  ثمَّ أَجِدُ منها ثابتَ التناسُبِ k        

$k=\frac{y}{x}$             أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ

$=\frac{20}{2}$k           أُعوّضُ y=20 , x=2

k=10            أَجِدُ الناتجَ

3) أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ.

y=10x 

مثال 4: منَ الحياةِ رُصِدَ ارتفاعُ الثلوجِ على قمةِ أحدِ الجبالِ في أثناءِ عاصفةٍ ثلجيةٍ،فَوُجدَ أنَّهُ يزدادُ بمقدارِ 2cm  كلَّ ساعةٍ

1) أمثّلُ العلاقةَ بيانيًّا.
أُنشئُ جدولً، وأكتبُ النِّسَبَ فيهِ على شكلِ أزواجٍ مرتَّبةٍ:

الزمن (h)	1	2	3	4
ارتفاع الثلوج (cm)	2	4	6	8

(1 , 2), (2 , 4), (3 , 6), (4 , الأزواجُ المرتبةُ: ( 8

2) أبيّنُ أنَّ العلاقةَ تمثّلُ تناسبًا طرديًّا.
تمثّلُ العلاقةُ تناسُبًا طرديَّا؛ لأنَّ النقاطَ الممثِّلةَ لها تقعُ على مستقيمٍ يمرُّ بنقطةِ الأصلِ.
3)أكتبُ معادلةَ التناسُبِ الطرديِّ.

بما أنَّ العلاقةَ تناسُبٌ طرديٌّ، إذنْ، يُمكنُ إيجادُ معادلةٍ لها. وباستخدامِ النقطةِ (1,2) نجدُ أنَّ ثابتَ التناسُبِ k=2 

إذنْ، المعادلة y=2x         

4)أَجِدُ ارتفاعَ الثلجِ بعدَ مرورِ 10 ساعاتٍ

$\mathrm{y}=2\times 10$               أعوض x=10 

y=20                       أَجِدُ الناتجَ  

20 cm إذنْ، ارتفاعُ الثلجِ بعدَ مرورِ 10 ساعاتٍ هُوَ