التكامل غير المحدود

الدرس الأول: التكامل غير المحدود : صفحة (8-14)

 

سنتعرف في درس التكامل غير المحدود إلى:

1) الاقتران الأصلي.

2) التكامل غير المحدود وعناصره.

3) قواعد أساسية للتكامل غير المحدود .

4) خصائص التكامل غير المحدود.

 

أولًا:  الاقتران الأصلي:

سؤال(1) : إذا علمت أن الاقتران $f\left(x\right)=x^5$ ، فجد مشتقة الاقتران $f\left(x\right)$.

الـحـل : $f\text{'}\left(x\right) = 5x^4$

سؤال(2) : جد الاقتران الذي مشتقته  هي $F\text{'}\left(x\right)=5x^4$ .

الـحـل : $F\left(x\right)=x^5$

ويمكن أن يكون هنالك إجابات أخرى مثل:

            $F\left(x\right)=x^5+4 , \mathrm{ \; F}\left(x\right)=x^5-7$

ونلاحظ أن هنالك عددًا لا نهائيًا من الحلول المحتملة حيث مشتقة الثابت دائمًا تساوي صفرًا.

ويسمى $F\left(x\right)$ اقترانًا أصليًا ، ويمكن كتابته على الصورة: $F\left(x\right)=x^5+C$

حيث $C$ ثابت.

ويمكن تلخيص مفهوم الاقتران الأصلي وطريقة إيجاده من خلال المخطط الآتي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(1): جد اقترانًا أصليًا لكل من الاقترانات الآتية:                

الحل:

1) الاقتران الأصلي للاقتران $f\left(x\right)=7x^6$ هو :

$f\left(x\right)=7x^6$	مشتقة الاقتران الأصلي
$F\left(x\right)=x^7$	بجعل أس $x$ في الاقتران الأصلي $F\left(x\right)$ أكثر بـ 1 من أس $x$ في مشتقة اقتران القوة $f\left(x\right)$ فمشتقة $x^7$ هي $7x^6$
$F\left(x\right) = x^7 + C$	أضف الثابت C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) الاقتران الأصلي للاقتران $\hspace{0.17em}f\left(x\right)=-8x^{-9}$  هو :

 

$\hspace{0.17em}f\left(x\right)=-8x^{-9}$	مشتقة الاقتران الأصلي
$\hspace{0.17em}F\left(x\right)=x^{-8}$	بجعل أس $x$  في الاقتران الأصلي $F\left(x\right)$ أكثر بـ 1 من أس $x$ في مشتقة اقتران القوة $f\left(x\right)$ ومشتقة $x^{-8}$ هي $-8 x^{-9}$
$\hspace{0.17em}F\left(x\right) = x^{-8} + C$	أضف الثابت C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أتحقق من فهمي: جد اقترانًا أصليا لكل من الاقترانات الآتية:

$a) f(x)=15{ x}^{14} b) f\left(x\right)=-10 x^{-11}$

 

---

 

ثانيًا:  التكامل غير المحدود وعناصره:

التكامل غير المحدود هو عملية عكسية للاشتقاق، وقد سمي التكامل بغير المحدود لأنه يتضمن الثابت $\mathit{C}$ الذي يمكن تمثيله بأي قيمة. 

يمكن كتابة العلاقة بين الاقتران $f\left(x\right)$ والاقتران الأصلي له في صورة المعادلة:

$f\left(x\right)= \frac{d}{dx}\left[F\left(x\right)+C\right]$

 

ويمكن التعبير عن هذه المعادلة دون استخدام رمز المشتقة :
 

$\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$

وتسمى معادلة التكامل غير المحدود  للاقتران $\mathrm{<span\; style="color:\#0096d6;">f</span>}<span\; style="color:\#0096d6;">(</span>\mathrm{<span\; style="color:\#0096d6;">x</span>}<span\; style="color:\#0096d6;">)</span>$

ويمكن التعرف إلى عناصر التكامل غير المحدود من خلال المخطط الآتي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(2) : اكتب معادلة التكامل غير المحدود للاقتران $f\left(x\right) = 11 x^{10}$ ، ثم حدد عناصره

 

الحل:

معادلة التكامل غير المحدود للاقتران هي: $\int 11 x^{10} dx = x^{11} + C$

عناصر معادلة التكامل غير المحدود هي:

   $\int$         : رمز التكامل

 $11 x^{10}$    : المُكامَل

 $dx$          : متغير التكامل ( رمز يشير إلى أن التكامل يتم بالنسبة إلى المتغير $x$)

  $x{ }^{11}$      : الاقتران الأصلي

  $C$          : ثابت التكامل

 

أتحقق من فهمي: اكتب معادلة التكامل غير المحدود للاقتران $f\left(x\right)=24 x^{23}$

---

 

 

ثالثًا:  قواعد أساسية للتكامل غير المحدود :

 

بما أن التكامل والاشتقاق علاقتان عكسيتان؛ حيث $\int f\left(x\right) dx= F\left(x\right) + C$ $\leftarrow$$F \mathit{َ}\mathbf{ }\left(x\right) = f\left(x\right)$ ؛ فإنه يمكن التوصل إلى قواعد أساسية للتكامل غير المحدود وتلخيصها بالمخطط الآتي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(3) : جد كلًا من التكاملات الآتية:

                               $$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)} \int 5 dx \\ \mathbf{2}\mathbf{)} \int -4 dx \end{gathered}$$

الحل:

نستخدم قاعدة تكامل الثابت؛  $\int k dx = k x +C$           $$\begin{gathered} \mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\int 5 dx =5x + C \\ \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\int -4 dx =-4x + C \end{gathered}$$

 

ملاحظة: يمكن التحقق من صحة التكامل بإيجاد مشتقة الاقتران الناتج من التكامل، ومقارنتها بالاقتران المكامَل.

 

أتحقق من فهمي: جد كلا من التكاملات الآتية: 

$\mathit{a}\mathbf{)} \int 12 dx \mathit{b}\mathbf{)} \int -3 dx$

 

قبل إيجاد تكامل اقترانات القوة ، عليك اتباع الخطوات الآتية:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(4): جد كلا من التكاملات الآتية:

                            $\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\int x^7 dx \mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{ }\int \mathbf{ }\sqrt[3]{x^2} dx \mathbf{3}\mathbf{)}\mathbf{ }\int \frac{1}{x^9}dx$

 

الحل:

التكاملات بالمثال (4) هي تكاملات قوة لذلك نستخدم قاعدة تكامل اقتران القوة بصوره المختلفة:

 

1) تكامل  اقتران القوة $x^7$ هو:

 

$\int x^7 dx = \frac{1}{7+1}{x}^{7+1} +C$	تكامل اقتران القوة
$= \frac{1}{8} x^8 +C$	بالتبسيط

          

2) تكامل  اقتران القوة $\mathbf{ }\sqrt[3]{x^2}$ هو:

$\int \mathbf{ }\sqrt[3]{x^2} dx =\int \mathbf{ }{x}^{\frac{2}{3}} dx$	بكتابة المكامَل بصورة أسيّة
$= \frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{3}}+ 1} x^{\frac{2}{3}+1} + C$	تكامل اقتران القوة
$= \frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{3}+ \frac{{\displaystyle 3}}{3}}} x^{\frac{2}{3}+\frac{3}{3}} + C$	بتوحيد المقامات
$= \frac{1}{{\displaystyle \frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + C$	بالتبسيط
$= \frac{3}{{\displaystyle 5}} \sqrt[3]{x^5} + C$	الصورة الجذرية لـــ $x^{\frac{5}{3}}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) تكامل  اقتران القوة $\frac{1}{x^9}$ هو:

$\mathbf{ }\int \frac{1}{x^9} dx =\mathbf{ }\int x^{-9} dx$	تعريف الأس السالب
$=\mathbf{ }\frac{1}{-9+1}\mathbf{ }{x}^{-9+1} +C$	تكامل اقتران القوة
$=\mathbf{ }\frac{1}{-8}\mathbf{ }{x}^{-8} +C$	بالتبسيط
$=\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{1}{8 x^8}\mathbf{ } +C$	تعريف الأس السالب

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أتحقق من فهمي: جد كلا من التكاملات الآتية:

$a) x^6 \mathit{b}\mathbf{)}\mathbf{ }\int \mathbf{ }\sqrt[5]{x^3} dx \mathit{c}\mathbf{)}\mathbf{ }\int \frac{1}{x^{-3}}$

 

 

---

رابعًا:خصائص التكامل غير المحدود:

هنالك قواعد تسهل إيجاد تكامل الاقترانات التي تحوي أكثر من حد، مثل :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(5): جد كلا من التكاملات الآتية:

             $1)\mathbf{ }\mathbf{ }\int (18 x^8 + 9 x^2) dx$
$2) \int ( \frac{3}{x^4}- \frac{2}{\sqrt[3]{x}}) dx$

الحل:

1) تكامل الاقتران $(18 x^8 + 9 x^2)$ هو:

 

$1)\mathbf{ }\mathbf{ }\int (18 x^8 + 9 x^2) dx$	تكامل المجموع
$=\mathbf{ }18\int x^8 dx +9\int x^2 dx$	تكامل الاقتران المضروب بثابت
$=\mathbf{ }18 \left(\frac{1}{9}{x}^9 \right) +9 \left(\frac{1}{3}{x}^3\right) + C$	تكامل اقتران القوة تكتب C واحدة فقط تمثل مجموع الثابتين الناتجين من التكاملين
$=\mathbf{ }2 x^9 +3 x^3 + C$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) تكامل الاقتران $\left(\frac{3}{x^4}-\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\right)$ هو:

$\int \left(\frac{3}{x^4}-\frac{2}{\sqrt[3]{x}}\right) dx =\int \frac{3}{x^4}dx-\int \frac{2}{\sqrt[3]{x}} dx$	تكامل الفرق
$=3\int \frac{1}{x^4}dx-2\int \frac{1}{x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}} dx$	تكامل الاقتران المضروب بثابت وتحويل الصورة الجذرية إلى أسية
$=3\int x^{-4}dx-2\int x^{-\frac{1}{3}} dx$	تعريف الأس السالب
$=3\left(\frac{1}{-3}{x}^{-3}\right)-2 \left(\frac{1}{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{x}^{\frac{2}{3}}\right) +C$	تكامل اقتران القوة تكتب C واحدة فقط تمثل مجموع الثابتين الناتجين من التكاملين
$=-x^{-3}- 3x^{\frac{2}{3}} +C$	بالتبسيط
$=-\frac{1}{x^3}- 3\sqrt[3]{x^2} +C$	تعريف الأس السالب وكتابة الصورةالجذرية لـــ $x^{\frac{2}{3}}$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أتحقق من فهمي: جد كلا من التكاملات الآتية:

$a)\mathbf{ }\mathbf{ }\int (4 x^3 + 12 x^5) dx$                        
$b) \int ( \frac{1}{x^2}- \frac{6}{\sqrt[5]{x}}) dx$

 

 

ملاحظة: لا توجد قاعدة  لإيجاد تكامل ضرب اقترانين أو قسمتهما، لذلك عليك القيام بمجموعة من الخطوات قبل إجراء عملية التكامل، ويمكن تلخيصها كالآتي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(6): جد كلا من التكاملات الآتية:

               $$\begin{gathered} 1)\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\int }\mathbf{ }\frac{x -2 x^3}{x} dx \\ 2)\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{\int }(x^3-1)(x^2-8) dx \\ 3)\mathbf{ }\mathbf{ }\int \frac{\left(x-1\right)(x+1) }{\sqrt[3]{x}}dx \end{gathered}$$

الحل:

1) تكامل الاقتران $\mathbf{ }\frac{x -2 x^3}{x}$ هو:

$\mathbf{\int }\mathbf{ }\frac{x -2 x^3}{x} dx =\mathbf{\int }\mathbf{ }\frac{x}{x}\mathbf{-}\frac{ 2 x^3}{x} dx$	بقسمة كل حد في البسط على المقام
$=\mathbf{\int }\mathbf{ }(1\mathbf{-}2x^2) dx$	بالتبسيط
$=x -\frac{2}{3}{x}^3+C$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت

      

2) تكامل الاقتران $(x^3-1)(x^2-8)$ هو:

$\mathbf{\int }(x^3-1)(x^2-8) dx =\mathbf{\int }(x^5-8x^3-x^2+8) dx$	بضرب المقدارين الجبريين
$=\frac{x^6}{6}-\frac{8x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+8x +C$	بالتبسيط
$=\frac{1}{6}{x}^6-2x^4-\frac{1}{3}{x}^3+8x +C$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) تكامل الاقتران $\frac{(x-1)(x+1) }{\sqrt[3]{x}}$ هو:

$\int \frac{(x-1)(x+1) }{\sqrt[3]{x}}dx=\int x^{-\frac{1}{3 }} (x^2-1) dx$	بضرب المقدارين الجبريين، وتحويل الصورة الجذرية إلى أسية ، وتعريف الأس السالب
$=\mathbf{\int } ( x^{\frac{5}{3 }} -x^{-\frac{1}{3}} ) dx$	تكامل اقتران القوة
$=\frac{3}{8}{x}^{\frac{8}{3}} -\frac{3}{2}{x}^{\frac{2}{3}} +C$	بالتبسيط
$=\frac{3}{8}\sqrt[3]{x^8} - \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} +C$	بكتابة الصورة الجذرية

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ملاحظة: هنالك قوانين هامة يمكن الاستفادة منها - وقد تم دراستها سابقًا - لإيجاد حاصل ضرب اقترانين مثل:

 

1) مربع مجموع مقدارين أو الفرق بينهما ، أو تحليل الفرق بين مربعين :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) تحليل مجموع مكعبين أو الفرق بينهما: