التكامل بالتعويض

تعلمت سابقًا إيجاد الاقتران الأصلي وإجراء تكاملات بناءً على قواعد الاشتقاق ، لكن هذه القواعد لا تكفي لإيجاد الاقتران الأصلي

لاقترانات معينة (مثل ضرب اقترانين أو قسمتهما).

لذلك،  توجد طرائق مختلفة لإجراء التكاملات من هذا النوع وإحدى هذه الطرق (التكامل بالتعويض).

بصورة عامة ، نستخدم (التكامل بالتعويض) لإيجاد التكاملات التي تكون على الصورة: $\int f\left(g\right(x\left)\right)g\text{'}\left(x\right) dx$

وذلك عن طريق استبدال الاقتران $g\left(x\right)$  بمتغير جديد (u) وتحويل التكامل بجميع عناصره بدلالة المتغير الجديد u و du.

فإذا كان $u=g\left(x\right)$  اقترانًا قابلا للاشتقاق ومداه الفترة I ، وكان الاقتران  $f\left(x\right)$ اقترانًا متصلا على I ، فإن:

$\int f\left(g\right(x\left)\right)g\text{'}\left(x\right) dx=\int f\left(u\right) du$

 

وستوضح خطوات التكامل بالتعويض من خلال هذا المثال:

جد قيمة التكامل الآتي :

$\int -12x^2{(5-4x^3)}^{6}dx$

نلاحظ أن الاقتران المُكامل عبارة عن ضرب اقترانين ، وليس من السهل تحويله إلى جمع اوطرح اقترانات.

ونلاحظ أن المقدار ما داخل القوس $(5-4x^3)$  له مشتقة وهي $(-12x^2)$ وقد ضربت  في القوس ،

مما يشير إلى إمكانية استخدام التكامل بالتعويض.

الخطوة 1:

نحدد الاقتران u الذي يمكن به تبسيط الاقتران المُكامل ،

وهو (عادة) الاقتران الذي تكون مشتقته (أو مضاعفاتها) موجودة في الاقتران المُكامل.

وهنا يمكن إستبدال $u=5-4x^3$

الخطوة 2:

نقوم باستبدال المتغيرات في الاقتران المُكامل بدلالة u و du مع استبدال متغير المُكامل الأصلي.

ونكتب الناتج في أبسط صورة

ولإيجاد du نشتق u:

نجد dx بدلالة x و du:

وباجراء التعويض نحصل على التكامل التالي بدلالة u و du:

$$\begin{gathered} u=5-4x^3 \\ du=\left(-12x^2\right)dx \end{gathered}$$

وباستبدال كل من u و du للحصول على التكامل التالي:

$\int -12x^2{(5-4x^3)}^{6}dx=\int u^{6}du$

الخطوة 3:

نقوم بإيجاد قيمة التكامل الجديد (بدلالة u)

$$\begin{gathered} \int -12x^2{(5-4x^3)}^{6}dx=\int u^{6}du \\ =\frac{1}{7}{u}^7+c \end{gathered}$$

الخطوة 4:

نعيد تعويض u بدلالة المتغير الأصلي x:

 $$\begin{gathered} \int -12x^2{(5-4x^3)}^{6}dx=\int u^{6}du \\ =\frac{1}{7}{u}^7+c \\ =\frac{1}{7}{(5-4x^3)}^7+c \end{gathered}$$    

جد قيمة التكامل الآتي :

    $$\begin{gathered} \int 4cos x\sqrt{e^{sin x}} dx \\ Solution: \\ \int 4\cos x\sqrt{e^{\sin x}} dx=\int 4\cos x{\left(e^{\sin x}\right)}^{\frac{1}{2}} dx \\ let u=sin x \\ \frac{du}{dx}=\cos x \Rightarrow dx=\frac{du}{\cos x} \\ \int 4\cos x{\left(e^{\sin x}\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} dx=\int 4\cancel{\cos x} e^{\frac{1}{2}u} \frac{du}{\cancel{\cos } x} \\ =\int 4e^{\frac{1}{2}u}du \\ =8e^{\frac{1}{2}u}+c=8e^{\frac{1}{2}\sin x}+c \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي :

$$\begin{gathered} \int \frac{6 }{x+3xlnx}dx \\ Solution: \\ \int \frac{6 }{x+3x\ln x}dx=2\int \frac{3}{x(1+3\ln x)} dx \\ let u=1+3\ln x \\ \frac{du}{dx}=\frac{3}{x} \Rightarrow dx=\frac{x}{3}du \\ 2\int \frac{3}{x(1+3\ln x)}dx=2\int \frac{3}{x\left(u\right)}\frac{x}{3}du \\ =2\int \frac{1}{u}du \\ =2\ln \left|u\right|+c \\ =2\ln \left|1+3\ln x\right|+c \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي :

$$\begin{gathered} \int 10x^{4}sec\left(x^5\right) tan\left(x^5\right)dx \\ Solution: \\ let u=x^5 \\ \frac{du}{dx}=5x^4 \Rightarrow dx=\frac{du}{5x^4} \\ \int 10x^{4}sec\left(x^5\right)\tan \left(x^5\right) dx=\int 10x^{4}sec\left(u\right)\tan \left(u\right) \frac{du}{5x^4} \\ =\int 2sec\left(u\right)\tan \left(u\right)du \\ =2sec\left(u\right)+c \\ =2sec\left(x^5\right)+c \end{gathered}$$ 

جد قيمة التكامل الآتي :

 

$$\begin{gathered} \int x^{-3}{\left(2\right)}^{\frac{1}{x^2}}dx \\ Solution: \\ let u=\frac{1}{x^2}=x^{-2} \\ \frac{du}{dx}=-2x^{-3} \Rightarrow dx=\frac{-du}{2x^{-3}} \\ \int x^{-3}{\left(2\right)}^{x^{-2}}dx=\int x^{-3} 2^u\frac{-du}{2x^{-3}} \\ =\frac{-1}{2}\int 2^{u}du \\ =\frac{-1}{2}\frac{2^u}{\ln 2}+c \\ =\frac{-1}{2\ln 2}{2}^{x^{-2}}+c \end{gathered}$$

نلاحظ أن التكامل بالتعويض يفيد في تبسيط الاقتران المُكامل في حالة أن مشتقة جزء منه (أو مضاعف المشتقة) موجود معه.

وأحيانًا بعد إجراء التعويض بدلالة u والاختصارات ، يبقى في الاقتران المُكامل المتغير الأصلي (x)، عندئذٍ  نعود إلى فرضنا

الأصلي (u) لكتابة x بدلالتها ، ويمكن استخدام المتطابقات المثلثية عند الحاجة.

جد قيمة التكامل الآتي :

 

$$\begin{gathered} \int \frac{4x^3}{\sqrt{x^2+5}}dx \\ Solution: \\ let u=\sqrt{x^2+5} \\ {u}^2=x^2+5 \\ 2udu=2xdx \\ \int \frac{4x^3}{\sqrt{x^2+5}}dx=\int \frac{4x^3}{u}\frac{udu}{x} \\ =4\int x^2 du \end{gathered}$$

 

نلاحظ أن الاختصار لم يكن تاماً . لذلك سنعود إلى الفرض الأصلي واستبدال ما تبقى من المتغيرات.  

 

$$\begin{gathered} sence u^2=x^2+5 \Rightarrow x^2=u^2-5 \\ 4\int x^2 du=4\int (u^2-5)du \\ =4(\frac{1}{3}{u}^3-5u)+c \\ =4(\frac{1}{3}{\left(x^2+5\right)}^{\frac{3}{2}}-5\sqrt{x^2+5})+c \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي :

$\int {(x^4+2x)}^{8}dx$

لاحظ عدم وجود مقدار خارج القوس نستطيع من خلاله اختزال المشتقة . لذلك سنقوم بسحب x عامل مشترك .

$$\begin{gathered} Solution: \\ \int {(x^4+2x)}^{8}dx=\int {\left(x\left(x^3+2\right)\right)}^{8}dx \\ =\int x^8{(x^3+2)}^{8}dx \\ let u=x^3+2 \\ \frac{du}{dx}=3x^2 \Rightarrow dx=\frac{du}{3x^2} \\ \int x^8{(x^3+2)}^{8}dx=\int x^8{u}^8\frac{du}{3x^2} \\ =\frac{1}{3}\int x^6{u}^{8}du \\ now to replace x^6 \\ u=x^3+2 \Rightarrow x^3=u-2 \\ {x}^6={(u-2)}^2=u^2-4u+4 \\ \frac{1}{3}\int x^6{u}^{8}du=\frac{1}{3}\int (u^2-4u+4)u^{8}du \\ =\frac{1}{3}\int (u^{10}-4u^9+4u^8)du \\ =\frac{1}{3}(\frac{u^{11}}{11}-\frac{2u^{10}}{5}+\frac{4u^9}{9})+c \\ =\frac{1}{3}(\frac{{(x^3+2)}^{11}}{11}-\frac{2{(x^3+2)}^{10}}{5}+\frac{4{(x^3+2)}^9}{9})+c \end{gathered}$$

  $\sqrt[n]{ax+b}$:

وذلك عن طريق الاستبدال $u=\sqrt[n]{ax+b}$  للتخلص من صيغة الجذر.

جد قيمة التكامل الآتي :

$$\begin{gathered} \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}-x}dx \\ Solution: \\ let u=\sqrt[5]{x} \Rightarrow u^5=x \\ 5u^{4}du=dx \\ \int \frac{dx}{\sqrt[5]{x}-x}=\int \frac{5u^4}{u-x}du \\ but x=u^5 \\ \int \frac{5u^4}{u-x}du=\int \frac{5u^4}{u-u^5}du \\ =\int \frac{5u^4}{u\left(1-u^4\right)}du=\int \frac{5u^3}{1-u^4}du \\ \frac{5}{4}\int \frac{-4u^3}{1-u^4}du=\frac{-5}{4}\ln \left|1-u^4\right|+c \left( \frac{d}{dx}\left(1-u^4\right)=-4u^3\right) \\ =\frac{-5}{4}\ln \left|1-{\left(\sqrt[5]{x}\right)}^4\right|+c \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي :

 

$$\begin{gathered} \int \frac{3x}{\sqrt[3]{1+x}}dx \\ Solution: \\ let u=\sqrt[3]{1+x} \\ {u}^3=1+x \Rightarrow 3u^{2}du=dx \\ \int \frac{3x}{\sqrt[3]{1+x}}dx=\int \frac{3x}{u}3u^{2}du=\int 9xu du \\ but x=u^3-1 \\ \int 9x u du=9\int (u^3-1)udu \\ =9\int (u^4-u)du \\ =9(\frac{u^5}{5}-\frac{u^2}{2})+c \\ =3(\frac{{\left(\sqrt[3]{1+x}\right)}^5}{5}-\frac{{\left(\sqrt[3]{1+x}\right)}^2}{2})+c \end{gathered}$$

تعلمنا سابقًا إيجاد تكاملات لاقتراني الجيب وجيب التمام المرفوعين إلى أس زوجي (باستخدام متطابقات تقليص القوة)

وكذلك تكامل ناتج ضرب اقتراني جيب ، أو جيبي تمام ، أو جيب في جيب التمام باستخدام المتطابقات.

والآن سنستخدم متطابقة فيثاغورس $(si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1)$ 

والتكامل بالتعويض لحل تكاملات تحتوي اقتراني الجيب أو جيب التمام مرفوع إلى أس فردي.

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} \int si{n}^{5}x dx \\ Solution: \\ {\sin }^{5}x=\sin x {\sin }^{4}x=\sin x {\left({\sin }^{2}x\right)}^2 \\ \int \sin x {\left({\sin }^{2}x\right)}^{2}dx=\int \sin x{(1-{\cos }^{2}x)}^{2}dx \\ let u=\cos x \\ \frac{du}{dx}=-\sin x \Rightarrow dx=-\frac{du}{\sin x} \\ =\int \sin x{(1-u^2)}^2\frac{-du}{\sin x}=-\int (1-2u^2+u^4)du \\ =-(u-\frac{2}{3}{u}^3+\frac{1}{5}{u}^5)+c \\ =-(\cos x-\frac{2}{3}{\cos }^{3}x+\frac{1}{5}{\cos }^{5}x)+c \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} \int 4co{s}^{5}x si{n}^{2}x dx \\ Solution: \\ let u=\sin x \\ \frac{du}{dx}=\cos x \Rightarrow dx=\frac{du}{\cos x} \\ \int 4{\cos }^{5}x {\sin }^{2}x dx=\int 4{\cos }^{5}x u^2\frac{du}{\cos x} \\ =4\int {\left({\cos }^{2}x\right)}^2{u}^{2}du \\ but u=\sin x \Rightarrow u^2={\sin }^{2}x \\ {u}^2=1-{\cos }^{2}x \Rightarrow {\cos }^{2}x=1-u^2 \\ {\left({\cos }^{2}x\right)}^2={(1-u^2)}^2=1-2u^2+u^4 \\ 4\int {\left({\cos }^{2}x\right)}^2{u}^{2}du=4\int (1-2u^2+u^4)u^{2}du \\ =4\int (u^2-2u^4+u^6)du \\ =4(\frac{1}{3}{u}^3-\frac{2}{5}{u}^5+\frac{1}{7}{u}^7)+c \\ =4(\frac{1}{3}{\sin }^{3}x-\frac{2}{5}{\sin }^{5}x+\frac{1}{7}{\sin }^{7}x)+c \end{gathered}$$

في هذه الحالة. نفترض (u) بطريقة تضمن وجود أس زوجي من الاقتران الآخر.

حتى نتمكن من استخدام متطابقتي فيثاغورس: $$\begin{gathered} ** ta{n}^{2}x=se{c}^{2}x-1 \\ ** co{t}^{2}x=cs{c}^{2}x-1 \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} \int ta{n}^{6}x dx \\ Solution: \\ {\tan }^{6}x={\tan }^{2}x {\tan }^{4}x \\ \int {\tan }^{2}x {\tan }^{4}x dx=\int {\tan }^{2}x{\left({\tan }^{2}x\right)}^{2}dx \\ =\int {\tan }^{2}x{(se{c}^{2}x-1)}^{2}dx \\ =\int {\tan }^{2}x(se{c}^{4}x-2se{c}^{2}x+1)dx \\ =\int {\tan }^{2}x se{c}^{2}x(se{c}^{2}x-2)dx+\int {\tan }^{2}x dx \\ let I_1=\int ta{n}^{2}x se{c}^{2}x(se{c}^{2}x-2) dx \\ let u=\tan x \\ \frac{du}{dx}=se{c}^{2}x \Rightarrow dx=\frac{du}{se{c}^{2}x} \\ \int {\tan }^{2}x se{c}^{2}x(se{c}^{2}x-2)dx=\int u^{2}se{c}^{2}x({\tan }^{2}x+1-2)\frac{du}{se{c}^{2}x} \\ =\int u^2(u^2-1)du=\int (u^4-u^2)du \\ =\frac{1}{5}{u}^5-\frac{1}{3}{u}^3+c \\ =\frac{1}{5}{\tan }^{5}x-\frac{1}{3}{\tan }^{3}x+c_1 \\ let I_2=\int ta{n}^{2}x dx \\ \int {\tan }^{2}x dx=\int (se{c}^{2}x-1)dx \\ =\tan x-x+c_2 \\ \int {\tan }^{2}x {\tan }^{4}x dx=I_1+I_2 \\ =\frac{1}{5}{\tan }^{5}x-\frac{1}{3}{\tan }^{3}x+\tan x-x+c \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} \int cs{c}^{4}x co{t}^{6}x dx \\ Solution: \\ let u=cot x \\ \frac{du}{dx}=-cs{c}^{2}x \Rightarrow dx=-\frac{du}{cs{c}^{2}x} \\ \int cs{c}^{4}x co{t}^{6}x dx=\int cs{c}^{4}x u^6 \frac{-du}{cs{c}^{2}x} \\ =-\int cs{c}^{2}c * u^6 du \\ =-\int (u^2+1)u^6 du \\ =-\int (u^8+u^6)du \\ =-(\frac{1}{9}{u}^9+\frac{1}{7}{u}^7)+c \\ =-(\frac{1}{9}co{t}^{9}x+\frac{1}{7}co{t}^{7}x)+c \end{gathered}$$

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} \int se{c}^{4}x ta{n}^{3}x dx \\ Solution:1 \\ let u=\tan x \Rightarrow dx=\frac{du}{se{c}^{2}x} \\ \int se{c}^{4}x {\tan }^{3}x dx=\int se{c}^{4}x u^3 \frac{du}{se{c}^{2}x} \\ =\int se{c}^{2}x u^{3 } du but (se{c}^{2}x=ta{n}^{2}x+1) \\ =\int (u^2+1)u^{3}du \\ =\int (u^5+u^3)du \\ =\frac{1}{6}{u}^6+\frac{1}{4}{u}^4+c \\ =\frac{1}{6}{\tan }^{6}x+\frac{1}{4}{\tan }^{4}x+c \\ Solution:2 \\ let u=sec x \Rightarrow dx=\frac{du}{secx \tan x} \\ \int se{c}^{4}x {\tan }^{3}x dx=\int u^4{\tan }^{3}x \frac{du}{sec x \tan x} \\ =\int u^4{\tan }^{2}x \frac{du}{u} \\ =\int u^3(u^2-1) du but (ta{n}^{2}x=se{c}^2-1) \\ =\int (u^5-u^3) du \\ =\frac{1}{6}{u}^6-\frac{1}{4}{u}^4+c \\ =\frac{1}{6}se{c}^{6}x-\frac{1}{4}se{c}^{4}x+c \end{gathered}$$

نلاحظ هنا أن الاقتران المُكامل  $(se{c}^{4}x ta{n}^{3}x)$ 

يوجد له أكثر من صيغة للاقتران الأصلي (ناتج التكامل) يختلفان عن بعضهما فقط في قيمة ثابت التكامل.

لحساب قيمة التكامل المحدود باستخدام التكامل بالتعويض ونستطيع استخدام طريقتين:

الطريقة الأولى:

بعد إجراء التكامل بدلالة المتغير الأصلي،  نعوض الحدود الأصلية في ناتج التكامل.

الطريقة الثانية:

نغير حدود التكامل عند تغيير متغير التكامل.وسنوضح هاتين الطريقتين في المثال التالي:

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\frac{sin x}{\sqrt{4+cos x}}dx \\ Solution:Method 1 \\ let u=\sqrt{4+\cos x} \\ {u}^2=4+\cos x \\ 2udu=-\sin x dx \Rightarrow dx=\frac{-2udu}{\sin x} \\ \int \frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos x}}dx=\int \frac{\sin x}{u}\times \frac{-2u}{\sin x}du \\ =\int -2du \\ =-2u+c \\ =-2\sqrt{4+\cos x}+c \\ {\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos x}}dx=-2\sqrt{4+\cos }{|}_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} \\ =(-2\sqrt{4})-(-2\sqrt{5}) =2\sqrt{5}-4 \end{gathered}$$

 

$$\begin{gathered} {\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\frac{sin x}{\sqrt{4+cos x}}dx \\ Solution:Method 2 \\ let u=\sqrt{4+\cos x} \\ {u}^2=4+\cos x \\ 2udu=-\sin x dx \Rightarrow dx=\frac{-2udu}{\sin x} \\ Now when x=0 \Rightarrow u=\sqrt{4+\cos \left(0\right)}=\sqrt{5} \\ when x=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \Rightarrow u=\sqrt{4+\cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)}=2 \\ \int \frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos x}}dx={\int }_{\sqrt{5}}^2(\frac{\sin x}{u}\times \frac{-2u}{\sin x})du \\ =-{\int }_{\sqrt{5}}^{2}2du \\ =-2u{|}_{\sqrt{5}}^2 \\ =-2\left(2-\sqrt{5}\right)=2\sqrt{5}-4 \end{gathered}$$

 

وسنستخدم الطريقة الثانية في حل بقية الأمثلة:

جد قيمة التكامل الآتي:

$$\begin{gathered} {\int }_{-1}^{1}6x^2{e}^{x^3-1}dx \\ Solution: \\ let u=x^3-1 \\ du=3x^{2}dx \Rightarrow dx=\frac{du}{3x^2} \\ when x=-1 \Rightarrow u={\left(-1\right)}^3-1=-2 \\ x=1 \Rightarrow u={\left(1\right)}^3-1=0 \\ {\int }_{-1}^{1}6x^2{e}^{x^3-1}dx={\int }_{-2}^{0}6x^2{e}^u\frac{du}{3x^2} \\ ={\int }_{-2}^{0}2e^{u}du \\ =2e^u{|}_{-2}^0\hspace{0.17em}=2e^0-2e^{-2}=2-\frac{2}{e^2} \end{gathered}$$