التكامل المحدود

الدرس الثالث: التكامل المحدود

 

سنتعرف في درس التكامل المحدود إلى:

1) مفهوم التكامل المحدود.

2) خصائص التكامل المحدود.

3) تكاملات الاقترانات المتشعبة.

4) التكامل المحدود ومقدار التغير.

 

أولًا:  مفهوم التكامل المحدود:

التكامل المحدود هو: تكامل الاقتران $f\left(x\right)$ الذي يكتب على الصورة ${\int }_a^{b}f\left(x\right) dx$ ،

حيث $a$ الحد السفلي للتكامل، و $b$ الحد العلوي له.

ويمكن تعريف التكامل المحدود باستخدام المخطط الآتي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

أتذكر : $F\left(x\right)$ هو اقتران أصلي  للاقتران $f\left(x\right)$.

ألاحظ: إلغاء ثابت التكامل $C$  عند إيجاد التكامل المحدود ، وهذا يعني أنّ الناتج هو نفسه بصرف النظر عن الاقتران الأصلي المستعمل :                                                            $$\begin{gathered} {\int }_a^{b}f\left(x\right) dx =\left[F\left(b\right)+C\right] -\left[F\left(a\right)+C\right] \\ =F\left(b\right)+C -F\left(a\right)-C \\ =F\left(b\right)-F\left(a\right) \end{gathered}$$                                              

إذن المفهوم الأساسي للتكامل المحدود هو:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(1): جد قيمة كل من التكاملين الآتيين:

                          $$\begin{gathered} a) {\int }_2^5 \left(4x - 6x^2\right) dx \\ b) {\int }_{-3}^3 \left(x -2\right)\left(x+2\right) dx \end{gathered}$$

الحل:

$a) {\int }_2^5 (4x - 6x^2) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_2^5 (4x - 6x^2) dx = \left(\frac{4x^2}{2} -\frac{6x^3}{3}\right) \overline{)\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}} \\ = \left(2 x^2 - 2 x^3\right) \overline{)\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت
$= \left(2 {\left(5\right)}^2 - 2{\left(5\right)}^3\right) - \left(2{\left(2\right)}^2 - 2{\left(2\right)}^3\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} =\left(2 \left(25\right) - 2\left(125\right)\right) - \left(2\left(4\right) - 2\left(8\right)\right) \\ = \left(50 - 250\right)-\left(8 -16 \right) \\ =\left(-200\right) -\left(-8\right) \\ =-200 +8 \\ =-192 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$b) {\int }_{-3}^3 (x -2\left)\right(x+2) dx$
$$\begin{gathered} {\int }_{-3}^3 (x -2)(x+2) dx ={\int }_{-3}^3 (x^2 -4) dx \\ = \left(\frac{x^3 }{3} - 4x \right)\overline{)\begin{array}{c}3\\ -3\end{array}} \end{gathered}$$	الفرق بين مربعين تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$= \left(\frac{3^3}{3}- 4\left(3\right)\right) - \left(\frac{{\left(-3\right)}^3}{3}- 4\left(-3\right)\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = \left(\frac{27}{3}- 12\right) - \left(\frac{-27}{3}+ 12\right) \\ = (9- 12) - \left(-9 +12\right) \\ = -3 - 3 \\ = -6 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ملاحظة: إذا عُلِمت قيمة التكامل المحدود، يمكن إيجاد حد من حدوده إذا كانت قيمته مجهولة  .

 

مثال(2): إذا كان ${\int }_1^k 6x dx = 9$ ، فجد قيمة الثابت $k$

الحل:

${\int }_1^k 6x dx = 9$	التكامل المعطى
$\frac{6x^2}{2}\overline{)\begin{array}{c}k\\ 1\end{array}} = 3x^2 \overline{)\begin{array}{c}k\\ 1\end{array}}$	تكامل اقتران القوة
$3{\left(k\right)}^2 - 3{\left(1\right)}^2=9$	بالتعويض
$$\begin{gathered} 3k^2 - 3 = 9 \\ 3k^2 = 9+3 \\ 3k^2 = 12 \\ k^2 = \frac{12}{3} \\ k^2 = 4 \\ k = \pm 2 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ثانيًا: خصائص التكامل المحدود:

يمكن التعرف إلى خصائص التكامل المحدود كالآتي:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ملاحظة: في خاصية تجزئة التكامل ، لا يُشترط أن تكون $a < c <b$

مثال(3): إذا كان ${\int }_2^{3}f\left(x\right) dx = 6 , {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right) dx = 4 , {\int }_{-2}^{2}g\left(x\right) dx = 8$ ، فأجد قيمة كل مما يأتي:

                                                       $$\begin{gathered} a) {\int }_{-2}^2 \left(\frac{1}{2}f\left(x\right) - 2 g\left(x\right)\right) dx \\ b) {\int }_2^{-2} \frac{1}{4}g\left(x\right) dx \\ c) {\int }_{-2}^3 f(x) dx \end{gathered}$$

 

الحل:

 

$a) {\int }_{-2}^2 (\frac{1}{2}f\left(x\right) - 2 g\left(x\right)) dx$
${\int }_{-2}^2 \left(\frac{1}{2}f\left(x\right) - 2 g\left(x\right)\right) dx = {\int }_{-2}^2 \frac{1}{2}f\left(x\right) dx - {\int }_{-2}^2 2 g\left(x\right) dx$	تكامل الفرق
$=\frac{1}{2} {\int }_{-2}^2 f\left(x\right) dx -2 {\int }_{-2}^2 g\left(x\right) dx$	تكامل الاقتران المضروب في ثابت
$=\frac{1}{2} \left(4\right) - 2 \left(8\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = 2 - 16 \\ = -14 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$b) {\int }_2^{-2} \frac{1}{4}g(x) dx$
${\int }_2^{-2} \frac{1}{4}g\left(x\right) dx = -{\int }_{-2}^2 \frac{1}{4}g\left(x\right) dx$	بالتبديل بين حدي التكامل
$= - \frac{1}{4}{\int }_{-2}^2 g\left(x\right) dx$	تكامل الاقتران المضروب في ثابت
$= -\frac{1}{4}\left(8\right)$	بالتعويض
$= -2$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$c) {\int }_{-2}^3 f(x) dx$
${\int }_{-2}^3 f\left(x\right) dx = {\int }_{-2}^2 f\left(x\right) dx + {\int }_2^3 f\left(x\right) dx$	بتجزئة التكامل
$= 4 + 6$	بالتعويض
$= 10$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

---

ثالثًا: تكاملات الاقترانات المتشعبة:

 

الاقتران المتشعب: هو الاقتران المعرّف بقواعد مختلفة لأجزاء مجاله.

ومن الأمثلة على الاقترانات المتشعبة: 

            $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}x+1 , -2\le x <1\\ 3 , x\ge 1\end{array}\right.$

ومن الأمثلة كذلك على الاقترانات المتشعبة: اقتران القيمة المطلقة ، مثل:

$f\left(x\right) = |x-3|$ ؛ حيث يمكن إعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة كالآتي: 

                        $\left|x-3\right| = \{\begin{array}{l}3-x , x <3\\ x-3 , x \ge 3\end{array}$

 

وقد تعلمنا كيفية تعريف اقتران القيمة المطلقة في درس الاستعداد لوحدة التكامل .

خطوات إيجاد التكامل المحدود للاقترانات المتشعبة:

1) قم بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة - إن وُجد -

1) استخدم خاصية التجزئة في إيجاد التكامل المحدود عند نقاط التشعب.

2) جد تكامل كل قاعدة على فترتها الجزئية.

مثال(4): إذا كان $f\left(x\right) = \{\begin{array}{l}4x-1 , x <1\\ 8 , x⩾1\end{array}$ ، فأجد قيمة:  ${\int }_{-1}^3 f\left(x\right) dx$

 

الحل :

${\int }_{-1}^3 f\left(x\right) dx = {\int }_{-1}^1 \left(4x-1\right) dx +{\int }_1^3 8 dx$	قاعدة تجزئة التكامل
$$\begin{gathered} = \left(\frac{4x^2}{2}-x\right) \overline{)\begin{array}{c}1\\ \\ -1\end{array}} + 8x \overline{)\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}} \\ = (2x^2-x) \overline{)\begin{array}{c} 1\\ -1\end{array}} + 8x \overline{)\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة وتكامل الثابت
$= \left(\left(2 {\left(1\right)}^2 - 1\right) - \left(2 {\left(-1\right)}^2 - \left(-1\right)\right)\right) + \left(8\left(3\right)-8\left(1\right)\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = \left(\left(2-1\right) - \left(2+1\right)\right) +\left(24 -8\right) \\ =\left(1-3\right) + \left(16\right) \\ = -2 + 16 \\ =14 \end{gathered}$$	بالتبسيط

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(5): إذا كان $f\left(x\right) = \left|5x + 10\right|$، فأجد قيمة: ${\int }_{-4}^2 f\left(x\right) dx$

$f\left(x\right)=\left|5x+10\right| = \{\begin{array}{l}-5x-10 , x <-2\\ 5x+10 , x \ge -2\end{array}$	بإعادة تعريف اقتران القيمة المطلقة
${\int }_{-4}^2 f\left(x\right) dx = {\int }_{-4}^{-2}\left(-5x-10\right)dx + {\int }_{-2}^2(5x+10)dx$	قاعدة تجزئة التكامل
$=\left(\frac{-5x^2}{2}-10x\right) \overline{)\begin{array}{c}-2\\ -4\end{array}}+ \left(\frac{5x^2}{2}+10x\right)\overline{)\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}}$	تكامل اقتران القوةوتكامل الثابت
$=\left(\left(\frac{-5{\left(-2\right)}^2}{2}-10\left(-2\right)\right)-\left(\frac{-5{\left(-4\right)}^2}{2}-10\left(-4\right)\right)\right)+\left(\left(\frac{5{\left(2\right)}^2}{2}+10\left(2\right)\right)-\left(\frac{5{\left(-2\right)}^2}{2}+10\left(-2\right)\right)\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = \left(\left(\frac{-20}{2}+20\right)-\left(\frac{-80}{2}+40\right)\right)+\left(\left(\frac{20}{2}+20\right)- \left(\frac{20}{2}-20\right)\right) \\ = \left(\left(-10+20\right)-\left(-40+40\right)\right)+\left(\left(10+20\right)-\left(10-20\right)\right) \\ =\left(10-0\right)+\left(30+10\right) \\ =10+40 \\ =50 \end{gathered}$$	بالتبسيط

رابعًا: التكامل المحدود ومقدار التغير:

 

أتذكر:  المشتقة هي: معدل تغير كمية بالنسبة إلى كمية أخرى عند لحظة معينة.

           فمثلًا: $f \mathit{َ} \left(x\right)$  هي معدل تغير $f\left(x\right)$ بالنسبة إلى $x$

 

أتعلم:يمكن استخدام التكامل المحدود لإيجاد مقدار التغير ، إذا كان معدل التغير  $f \mathit{َ} \left(x\right)$ معلومًا ،

          وطُلِب منك إيجاد مقدار التغير في $f\left(x\right)$ عند تغير  $x$ من: $x=a$ إلى $x=b$ 

         و يُعَبَّر عن مقدار التغير بـــ $f\left(b\right) - f\left(a\right)$ ، ويمكن إيجاده على النحو الآتي: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

مثال(6): يمثل الاقتران $C\mathbf{ }\mathit{َ} \left(x\right)= 4x + 8$ التكلفة الحدية (بالدينار) لكل قطعة تنتجها إحدى الشركات،

               حيث $x$ عدد القطع المنتجة ، و $C\left(x\right)$ تكلفة إنتاج $x$ قطعة بالدينار.

              جد مقدار التغير في التكلفة عند زيادة الشركة إنتاجها من 20 قطعة  إلى 40 قطعة شهريًّا.

 

الحل:

$C\left(b\right) - C\left(a\right)={\int }_a^b C \mathit{َ} \left(x\right) dx$	صيغة مقدار التغير
$C\left(40\right) - C\left(20\right)={\int }_{20}^{40} \left(4x+8\right) dx$	بتعويض $$\begin{gathered} a= 20 , b = 40 , \\ C \mathit{َ}\mathbf{ }\left(x\right) = \left(4x+8\right) \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} =(\frac{4x^2}{2}+8x) \overline{)\begin{array}{c}40\\ 20\end{array}} \\ =\left(2x^2 + 8x\right)\overline{)\begin{array}{c}40\\ 20\end{array}} \end{gathered}$$	تكامل اقتران القوة المضروب بثابت وتكامل الثابت
$= \left(\left(2{\left(40\right)}^2 + 8\left(40\right)\right)-\left(2{\left(20\right)}^2 + 8\left(20\right)\right)\right)$	بالتعويض
$$\begin{gathered} = \left(\left(2\left(1600\right) + 320\right)-\left(2\left(400\right) + 160\right)\right) \\ =\left(\left(3200 + 320\right)-\left(800 + 160\right)\right) \\ = 3520-960 \\ = 2560 \end{gathered}$$	بالتبسيط
إذن، عند زيادة إنتاج الشركة من 20 قطعة  إلى 40 قطعة ، فإنّ تكلفة الإنتاج ستزيد شهريًّا بمقدار  $JD 2560$