الوحدة الأولى : أنظمة العدّ
الفصل الثاني : التحويلات العددية
ثالثاً : التحويل بين الأنظمة الثنائي والثماني والسادس عشر
يتم تحويل العدد من النظامين الثماني والسادس عشر إلى النظام الثنائي ، وذلك بتحويل العدد إلى النظام العشري ، ثم تحويله إلى النظام الثنائي ، كما هو موضح في المثال الآتي:
مثال (1) : جد قيمة العدد 8(67) في النظام الثنائي
الحل:
1- حوّل العدد 8(67) إلى النظام العشري ، باتباع الخطوات الآتية :
أ- رتب خانات العدد مبتدئا من اليمين إلى اليسار تصاعديًا كالآتي:
ترتيب الخانة 0 1
6 7 الــــــعــــــدد
ب- طبّق القاعدة رقم (1) مستخدما أساس النظام الثماني (8) ،كالآتي :
81 x 6 + 80 x 7 = (67)8
8 x 6 + 1 x 7 =
48 + 7 =
(55)10 = (67)8
2- حوّل العدد 10(55) إلى النظام الثنائي ،كلآتي .
| عملية القسمة | |||||||
| ناتج القسمة | 27 | 13 | 6 | 3 | 1 | 0 | توقف |
| الباقي | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| إذن | 10(55) = 2(110111) | ||||||
| إذن ناتج تحويل العدد 8(67) إلى النظام الثنائي هو 2(110111) | |||||||
لاحظت من المثال السابق، أنّ هذه الطريقة طويلة لإجراء عملية التحويل بين الأنظمة الثماني والسادس عشر والثنائي، ولكن يوجد ارتباط وثيق بين هذه الأنظمة، فأساس النظام الثماني هو (8) ويساوي( 8 = 23)، وأساس النظام السادس عشر (16) ويساوي (16 = 24)، أي أنهما من مضاعفات أساس النظام الثنائي؛ لذا، فإنه يمكن التحويل من هذه الأنظمة إلى النظام الثنائي وبالعكس، من دون المرور بالنظام العشري، وفي ما يلي توضيح ذلك.
1- لتحويل العدد بين النظام الثنائي والنظام الثماني:
| الرمز في النظام الثماني | الرمز في النظام الثنائي |
| 1 | 000 |
| 2 | 001 |
| 3 | 010 |
| 4 | 100 |
| 5 | 101 |
| 6 | 110 |
| 7 | 111 |
يتم التحويل بين النظامين الثنائي والثماني باتباع القاعدة الآتية:
قاعدة رقم (3):
1- لتحويل العدد من النظام الثنائي إلى النظام الثماني، نفذ الآتي:
أ- قسّم العدد الثنائي إلى مجموعات، بحيث تتكون كل مجموعة من ثلاثة أرقام بدءاً من يمين العدد
ب- إذا كانت المجموعة الأخيرة غير مكتملة، أضف إليها أصفاراً في نهايتها؛ كي تصبح مكـوّنة من ثلاثة أرقام
جـ - استبدل كل مجموعة بما يُكافئها في النظام الثماني.
2- لتحويل العدد من النظام الثماني إلى النظام الثنائي، قم بما يأتي:
أ- استبدل كل رقم من أرقام النظام الثماني بما يُكافئه في النظام الثنائي، والمكون من ثلاثة أرقام
التحويل من النظام الثنائي إلى النظام الثماني
|
مثال(1) : حوّل العدد 2( 10101110) إلى النظام الثماني . الحل : طبّق القاعدة رقم (3) فرع (1) ، كالآتي : أ- قسّم العدد ابتداءً من جهة اليمين إلى مجموعات ، كل مجموعة تتكوّن من ثلاثة أرقام كما يأتي: 110 101 10 ب- أكمل المجموعة الأخيرة التي تحتوي على رقمين ، بإضافة أصفار إليها : 110 101 010 حـ - استبدل كلّ مجموعة بالرقم المكافئ لها في النظام الثماني : 110 101 010 6 5 2 إذن : 2( 10101110) = 8(256) |
مثال(2) : حوّل العدد 2( 1011101) إلى النظام الثماني . الحل : طبّق القاعدة رقم (3) فرع (1) ، كالآتي : أ- قسّم العدد ابتداءً من جهة اليمين إلى مجموعات ، كل مجموعة تتكوّن من ثلاثة أرقام كما يأتي: 101 011 1 ب- أكمل المجموعة الأخيرة التي تحتوي على رقم واحد ، بإضافة أصفار إليها : 101 011 001 حـ - استبدل كلّ مجموعة بالرقم المكافئ لها في النظام الثماني : 101 011 001 5 3 1 إذن : 2( 1011101) = 8(135) |
|
مثال(3) : حوّل العدد 2( 11110101) إلى النظام الثماني . الحل : طبّق القاعدة رقم (3) فرع (1) ، كالآتي : أ- قسّم العدد ابتداءً من جهة اليمين إلى مجموعات ، كل مجموعة تتكوّن من ثلاثة أرقام كما يأتي: 101 110 11 ب- أكمل المجموعة الأخيرة التي تحتوي على رقمين ، بإضافة أصفار إليها : 101 110 011 حـ - استبدل كلّ مجموعة بالرقم المكافئ لها في النظام الثماني : 101 110 011 5 6 3 إذن : 2( 11110101) = 8(365) |
مثال(4) : حوّل العدد 2( 101011111) إلى النظام الثماني . الحل : طبّق القاعدة رقم (3) فرع (1) ، كالآتي : أ- قسّم العدد ابتداءً من جهة اليمين إلى مجموعات ، كل مجموعة تتكوّن من ثلاثة أرقام كما يأتي: 111 011 101 ب- المجموعات مكتملة ثلاثة أرقام في كل مجموعة : 111 011 101 حـ - استبدل كلّ مجموعة بالرقم المكافئ لها في النظام الثماني : 111 011 101 7 3 5 إذن : 2( 101011111) = 8(537) |
التحويل من النظام الثماني إلى النظام الثنائي
|
مثال(1) : حوّل العدد 8( 67) إلى النظام الثنائي . الحل : طبّق القاعدة رقم (3) فرع (1) ، كالآتي : أ- اكـتـب العـــــــــــــــــــــــــــدد 7 6 ب- استبدل كلّ رقم بمكافئه الثنائي 111 110 إذن : 8( 67) = 2(110111) |
مثال(2) : حوّل العدد 8( 357) إلى النظام الثنائي . الحل : طبّق القاعدة رقم (3) فرع (1) ، كالآتي : أ- اكـتـب العـــــــــــــــــــــــــــدد 7 5 3 ب- استبدل كلّ رقم بمكافئه الثنائي 111 101 011 إذن : 8( 357) = 2(11101111) |
|
مثال(3) : حوّل العدد 8( 777) إلى النظام الثنائي . الحل : طبّق القاعدة رقم (3) فرع (1) ، كالآتي : أ- اكـتـب العـــــــــــــــــــــــــــدد 7 7 7 ب- استبدل كلّ رقم بمكافئه الثنائي 111 111 111 إذن : 8( 777) = 2(111111111) |
مثال(4) : حوّل العدد 8( 165) إلى النظام الثنائي . الحل : طبّق القاعدة رقم (3) فرع (1) ، كالآتي : أ- اكـتـب العـــــــــــــــــــــــــــدد 5 6 1 ب- استبدل كلّ رقم بمكافئه الثنائي 101 110 001 إذن : 8( 165) = 2(1110101) |
|
مثال(5) : حوّل العدد 8( 654) إلى النظام الثنائي . الحل : طبّق القاعدة رقم (3) فرع (1) ، كالآتي : أ- اكـتـب العـــــــــــــــــــــــــــدد 4 5 6 ب- استبدل كلّ رقم بمكافئه الثنائي 100 101 110 إذن : 8( 654) = 2(110101100) |
|