التحويلات الهندسية للاقترانات

التحويلات الهندسية للاقترانات

الاقترانات الرئيسية

عائلة الاقترانات: هي مجموعة الاقترانات التي تتشابه منحنياتها في صفة واحدة أو أكثر ويسمى أبسط هذه الاقترانات الاقتران الرئيس.

مثال:

الاقتران الرئيس لعائلة الاقترانات الخطية هو f(x)=x ويسمى الاقتران المحايد ومن عائلته f(x)=x-1, g(x)=3x, j(x)=1-2x ومن الاقترانات الرئيسية الأكثر شيوعا.

ملاحظة: إذا عرف شكل منحنى الاقتران الرئيس هذا يساعد على تمثيل منحنيات أكثر تعقيدا من نفس العائلة والتي تكون ناتجة عن تطبيق تحويل هندسي أو أكثر على منحنى الاقتران الرئيس حيث يكون التغيير في موقع المنحنى دون تغيير شكله وأبعاده كالإنعكاس والانسحاب أما تحويلات التمدد فتغيير شكل المنحنى بحيث يبدو أوسع أو أضيق من المنحنى الرئيس.

الانسحاب الرأسي:

نقل منحنى الاقتران إلى الأعلى عند إضافة ثابت موجب للاقتران وإلى الأسفل عند طرح ثابت موجب من الاقتران.

إذا كان f اقتران وكان c عددا حقيقيا موجبا؛ فإن: منحنى g(x)=f(x)+c وهو منحنى f(x) مزاحا إلى الأعلى c وحدة. منحنى g(x)=f(x)-c هو منحنى f(x) مزاحا إلى الأسفل c وحدة.

مثال:

أستعمل منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=x^2$ لتمثيل كل من الاقترانات الآتي بيانيا:

$1) g(x)=x^2+2$

منحنى g(x) هو منحنى f(x) مزاحا وحدتان إلى الأعلى؛ لذا، فإن الإحداثي y لكل نقطة على منحنى g يزيد وحدتان على الإحداثي y للنقطة المقابلة لها على النحنى f، كما في الشكل المجاور.

$2) g(x)=x^2-3$

منحنى g(x) هو منحنى f(x) مزاحا 3 وحدات إلى الأسفل؛ لذا، فإن الإحداثي y لكل نقطة على منحنى g تنقص 3 وحدات على الإحداثي y للنقطة المقابلة لها على المنحنى f، كما في الشكل المجاور.

الانسحاب الأفقي:

هو تحويل هندسي ينقل منحنى الاقتران إلى اليسار عند إضافة ثابت موجب إلى قيم x وإلى اليمين عند طرح ثابت موجب من قيم x.

إذا كان f اقترانا وكان c عددا حقيقيا موجبا؛ فإن: منحنى g(x)=f(x+c) هو منحنى f(x) مزاحا إلى اليسار c وحدة. منحنى g(x)=f(x-c) هو منحنى f(x) مزاحا إلى اليمين c وحدة.

مثال:

أستعمل منحنى الاقتران $f\left(x\right)=x^2$ لتمثيل كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$1) g(x)={(x-1)}^2$

منحنى g(x) هو منحنى f(x) مزاحا وحدة إلى اليمين؛ لذا، فإن الإحداثي x لكل نقطة على منحنى g يزيد بمقدار وحدة على الإحداثي x للنقطة المقابلة لها على منحنى f، كما في الشكل المجاور.

$2) g(x)={\left(x+2\right)}^2$

منحنى g(x) هو منحنى f(x) مزاحا وحدتان إلى اليسار؛ لذا، فإن الإحداثي x لكل نقطة على منحنى g يزيد بمقدار وحدتان على الإحداثي x للنقطة المقابلة لها على منحنى f، كما في الشكل المجاور.

 

 

 

 

 

$3) g(x)={\left(x+1\right)}^2-3$

منحنى g(x) هو منحنى f(x) مزاحا وحدة إلى اليسار و 3 وحدات إلى الأسفل، كما في الشكل المجاور.

الانعكاس:

هو تحويل هندسي يعكسئ منحنى الاقتران حول مستقيم محدد.

منحنى g(x)=-f(x) هو انعكاس لمنحنى f(x) حول المحور x. منحنى g(x)=f(-x) هو انعكاس لمنحنى f(x) حول المحور y.

مثال:

أستعمل منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ لتمثيل كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$1) g(x)=-\sqrt{x}$

منحنى g(x) هو انعكاس لمنحنى f(x) حو المحور x؛ لذا؛ فإن كل نقطة (x,y) على منحنى f تقابل النقطة (x,-y) على منحنى g.

$2) g(x)=\sqrt{-x}$

منحنى g(x) هو انعكاس لمنحنى f(x) حول المحور y؛ لذا، فإن كل نقطة (x,y) على منحنى f تقابل النقطة (x,y-) على منحنى g.

التمدد الرأسي:

هو تحويل هندسي يؤدي إلى توسيع منحنى الاقتران أو تضييقه رأسيا.

إذا كان c عددا حقيقيا موجبا، فإن منحنى g(x)=cf(x) هو: توسيع رأسي بمعامل مقداره c لمنحنى f(x)، إذا كانت c>1 تضييق رأسي بمعامل مقداره c لمنحنى f(x)، إذا كانت $0<c<1$

مثال:

أستعمل منحنى الاقتران $f\left(x\right)=x^2$ لتمثيل كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$1) g(x)=2x^2$

منحنى g(x) هو توسيع رأسي لمنحنى f(x) بمعامل مقداره 2؛ لذا، فإن الإحداثي y لكل نقطة على منحنى g ناتج عن ضرب الإحداثي y للنقطة المقابلة لها على منحنى f(x) في2.

$2) g(x)=\frac{1}{2} x^2$

منحنى g(x) هو تضييق رأسي لمنحنى f(x) بمعامل مقداره 0.5؛ لذا، فإن الإحداثي y لكل نقطة على منحنى g ناتج عن ضرب الإحداثي y للنقطة المقابلة لها على منحنى f(x) في0.5.

التمدد الأفقي:

هو تحويل هندسي يؤدي إلى توسيع منحنى الاقتران أو تضييقه أفقيا.

إذا كان c عددا حقيقيا موجبا؛ فإن منحنى g(x)=f(cx) هو: تضييق أفقي لمنحى f(x)، إذا كانت c>1 بمعامل مقداره $\frac{1}{c}$. توسيع أفقي لمنحنى f(x)، إذا كانت $0<c<1$ بمعامل مقداره $\frac{1}{c}$.

 

 

مثال:

أستعمل منحنى الاقتران الرئيس $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ لتمثيل كل من الاقترانات الآتية بيانيا:

$1) g(x)=\sqrt{2x}$

منحنى g(x) هو تضييق أفقي لمنحنى f(x) بمعامل مقداره $\frac{1}{2}$؛ لذا، فإن الإحداثي x لكل نقطة على منحنى g ناتج عن ضرب الإحداثي x للنقطة المقابلة لها على منحنى f(x) في $\frac{1}{2}$.

$2) g(x)=\sqrt{\frac{1}{2}x}$

منحنى g(x) توسيع أفقي لمنحنى f(x) بمعامل مقداره 2؛ لذا، فإن الإحداثي x لكل نقطة على منحنى g ناتج عن ضرب الإحداثي x للنقطة المقابلة لها على منحنى f(x) في 2.

سلسلة التحويلات الهندسية:

ويكون ذلك عند تطبيق أكثر من تحويل هندسي على الاقتران الرئيس وتكون على الترتيب الآتي:

مثال:

أستعمل منحنى الاقتران $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ لتمثيل منحنى الاقتران $g\left(x\right)=\sqrt{2-x}+1$ بيانيا:

$g\left(x\right)=\sqrt{2-x}+1=\sqrt{-\left(x-2\right)}+1$

يمكننا الآن تمثيل منحنى الاقتران باتباع الخطوات الآتية:

1) أمثل منحنى f(x).

2) أمثل منحنى $y=\sqrt{-x}$ بإجراء انعكاس لمنحنى f(x) حول المحور y.

3) أمثل منحنى $y=\sqrt{-\left(x-2\right)}$ بإجراء انسحاب لمنحنى $y=\sqrt{-x}$ وحدة واحدة إلى اليمين.

4) أمثل منحنى $y=\sqrt{-\left(x-2\right)}+1$ بإجراء انسحاب لمنحنى $y=\sqrt{-\left(x-2\right)}$ وحدة إلى الأعلى.