الاقترانات الأسية

الاقترانات الأسية

الاقتران الأسي: هو اقتران على الصورة$f\left(x\right)=a{b}^x$ حيث a و b عددان حقيقيان و $a\ne 0 , b\ne 0 , b>0$

ملاحظة: لتمثيل الاقتران الأسي بيانيا

1) نقوم بإنشاء جدول قيم

2) نعين الأزواج المرتبة الناتجة من الجدول في المستوى الإحداثي .

3) نقوم بالتوصيل بين النقاط الممثلة بمنحنى متصل.

أولا: تمثيل الاقتران الأسي على الصورة $f\left(x\right)=a{b}^x$ حيث $a>0 , b>1$ وتعرف خصائصه

مثال:

إذا كان $f\left(x\right)=3^x$ فأجيب عما يأتي:

1) أمثل الاقتران بيانيا ثم أجد مجاله ومداه وخطوط التقارب.

ننشئ جدول قيم ونمثل الاقتران في المستوى الإحداثي من خلال تعين الأزواج المرتبة في المستوى ونصل بينها بمنحنى متصل.

2	1	0	1-	2-	x
9	3	1	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{9}$	y=f(x)
$\left(2,9\right)$	$\left(1,3\right)$	$(0,1)$	$(-1,\frac{1}{3})$	$(-2,\frac{1}{9})$	(x,y)

المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والمدى هو الفترة $(0,\infty )$

بما أن القيم تقترب من المحور x لكنها لا تقطعه فإن المحور x هو خط تقارب أفقي للاقتران

2) أجد المقطع x والمقطع y.

لا يوجد للاقتران مقطع مع المحور x.

للاقتران مقطع مع المحور y عندما y=1 و x=0.

3) هل f(x) متزايد أم متناقص؟

بما أن قيم y تزداد بازدياد قيم x إذن الاقتران متزايد.

4) هل f(x) اقتران واحد لواحد؟

اقتران f(x) اقتران واحد لواحد 

من خلال المثال السابق نجد أن الاقتران أعلاه متزايد ومجاله مجموعة الأعداد الحقيقية ومداه مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة وله خط تقارب أفقي هو المحور x وأيضا هو اقتران واحد لواحد ويمكننا تعميم ذلك على أي اقتران على الصورة $f\left(x\right)=a{b}^x$ حيث $a>0 , b>1$.

ثانيا: التمثيل البياني للاقتران الأسي على الصورة $f\left(x\right)=a{b}^x$ حيث $0<b<1 , a>0$  وتعرف خصائصه

مثال:

إذا كان $f\left(x\right)={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ فأجيب عما يأتي:

1) أمثل الاقتران بيانيا ثم أجد مجاله ومداه وخطوط التقارب.

ننشئ جدول قيم ونمثل الاقتران في المستوى الإحداثي من خلال تعين الأزواج المرتبة في المستوى ونصل بينها بمنحنى متصل.

2	1	0	1-	2-	x
$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{4}$	1	4	16	y=f(x)
$\left(2,\frac{1}{16}\right)$	$\left(1,\frac{1}{4}\right)$	$\left(0,1\right)$	$\left(-1,4\right)$	$\left(-2,16\right)$	(x,y)

المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية، والمدى هو الفترة $\left(0,\infty \right)$

بما أن القيم تقترب من المحور x لكنها لا تقطعه فإن المحور x هو خط تقارب أفقي للاقتران

2) أجد المقطع x والمقطع y.

لا يوجد للاقتران مقطع مع المحور x.

للاقتران مقطع مع المحور y عندما y=1 و x=0.

3) هل f(x) متزايد أم متناقص؟

بما أن قيم y تنقص بازدياد قيم x إذن الاقتران متناقص.

4) هل f(x) اقتران واحد لواحد؟

اقتران f(x) اقتران واحد لواحد

من خلال المثال السابق نجد أن الاقتران أعلاه متناقص ومجاله مجموعة الأعداد الحقيقية ومداه مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة وله خط تقارب أفقي هو المحور x وأيضا هو اقتران واحد لواحد ويمكننا تعميم ذلك على أي اقتران على الصورة $f\left(x\right)=a{b}^x$ حيث $0<b<1 , a>0$

خصائص الاقتران الأسي

التمثيل البياني للاقتران الأسي المعرف على الصورة $f\left(x\right)=a{b}^x$ حيث b, a عددان حقيقيان و $a\ne 0 , b\ne 1 , b>0$ له الخصائص الآتية: مجال الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية R. مدى الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة $R^{+}$ أي الفترة $(0,\infty )$. يكون الاقتران متزايدًا إذا كانت b>1 يكون الاقتران متناقصًا إذا كانت $0<b<1$ للاقتران خط تقارب أفقي هو المحور x. يقطع الاقتران المحور y في نقطة واحدة هي $(0,a)$، ولا يقطع المحور x. اقتران واحد لواحد.

مثال:

أمثل كل من الاقترانات الآتية بيانيا وأجد مجاله ومداه

1)  $f\left(x\right)=3\left(2^{x+1}\right)-1$

خط التقارب الأفقي هو $y=-1$

ننشئ جدول قيم ونمثل الاقتران في المستوى الإحداثي من خلال تعين الأزواج المرتبة في المستوى ونصل بينها بمنحنى متصل.

2	1	0	1-	2-	x
23	11	5	2	$\frac{1}{2}$	y=f(x)
$\left(2,23\right)$	$\left(1,11\right)$	$\left(0,5\right)$	$\left(-1,2\right)$	$\left(-2,\frac{1}{2}\right)$	(x,y)

مجال الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية، ومداه هو الفترة $(-1,\infty )$

$2) f(x)=4(3^{-x})+2$

خط التقارب الأفقي $y=2$

ننشئ جدول قيم ونمثل الاقتران في المستوى الإحداثي من خلال تعين الأزواج المرتبة في المستوى ونصل بينها بمنحنى متصل.

2	1	0	1-	2-	x
$\frac{22}{9}$	$\frac{10}{3}$	6	14	38	y=f(x)
$\left(2,\frac{22}{9}\right)$	$\left(1,\frac{10}{3}\right)$	$\left(0,6\right)$	$\left(-1,14\right)$	$\left(-2,38\right)$	(x,y)

مجال الاقتران هو مجموعة الأعداد الحقيقية، ومداه هو الفترة $\left(2,\infty \right)$

مثال:

مواد مشعة: تمثل المعادلة $\mathit{N}\mathbf{\left(}\mathit{t}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathbf{\left(}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{\right)}}^{\frac{\mathbf{t}}{\mathbf{1620}}}$ الكمية المتبقية N بالغرامات من عينة كتلتها 1g من الراديوم 226 حيث t الزمن بالسنوات.

1) أجد كمية الراديوم 226 المتبقية بعد 3240 سنة.

$$\begin{gathered} N\left(t\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1620}} \\ N\left(3240\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3240}{1620}} \\ ={\left(\frac{1}{2}\right)}^2 \\ =0.25 \end{gathered}$$

إذن: بعد 3240 سنة، يبقى من كمية الراديوم 0.25g.

2) بعد كم سنة يبقى من كمية الراديوم 0.125g؟

يمكنني إيجاد عدد السنوات الازمة ليبقى من الراديوم 0.125 عن طريق حل المعادلات الأسية.

$$\begin{gathered} N\left(t\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1620}} \\ 0.125={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1620}} \\ \frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1620}} \\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{1620}} \\ 3=\frac{t}{1620} \\ t=4860 \end{gathered}$$

إذن: يبقى 0.125g من كمية الراديوم بعد 4860 سنة.

النمو والاضمحلال

اقتران النمو الأسي: إذا ازدادت كمية بنسبة مئوية ثابتة خلال فترات زمنية متساوية فإنها تزداد بشكل أسي ولإيجاد مقدار هذه الكمية التي زادت بعد t من الزمن يمكن استعمال الاقتران الآتي: $A\left(t\right)=a{(1+r)}^t$ حيث:

A(t) هو اقتران النمو الأسي، t الفترة الزمنية ، a الكمية الابتدائية ، r النسبة المئوية لنمو في فترات زمنية محددة ويسمى أساس العبارة الأسية (1+r) عامل النمو.

اقتران النمو الأسي هو كل اقتران أسي يتزايد بنسبة مئوية  ثابتة في فترات زمنية  متساوية.

مثال:

سكان: بلغ عدد سكان المملكة الأردنية الهاشمية في عام 2020، تقريبا 10.8 مليون نسمة، فإذا كانت نسبة النمو السكاني %2.6 سنويا تقريبا؛ فأجيب عما يأتي:

1) أكتب اقتران النمو الأسي الذي يمثل عدد سكان المملكة بالمليون نسمة بعد t سنة منذ العام 2020.

$$\begin{gathered} A\left(t\right)=a{(1+r)}^t \\ A\left(t\right)=10.8{(1+0.026)}^t \\ A\left(t\right)=10.8(1.026) \end{gathered}$$

إذن: اقتران النمو الأسي يمثل عدد سكان المملكة بعد t من السنوات $A\left(t\right)=10.8{(1.026)}^t$

2) أجد عدد السكان المملكة التقريبي في عام 2030

بما أن عدد سكان المملكة الابتدائي (عندما t=0) يرتبط بالعام 2020، فإنه لإيجاد عدد سكان المملكة في عام 2030، أعوض t=10 لأنه يمثل الفرق الزمني بين العامين 2020 و 2030.

$$\begin{gathered} A\left(t\right)=10.8{(1.026)}^t \\ A\left(10\right)=10.8{(1.026)}^{10} \\ \approx 13.96 \end{gathered}$$

إذن: من المتوقع أن يكون عدد سكان الأردن في عام 2030 تقريبا، 13.96 مليون نسمة.

3) أمثل اقتران النمو الأسي بيانيا.

يمكنني استعمال برمجية جيوجيبرا لتمثيل الاقتران الأسي بيانيا؛ وذلك بإدخال الصيغة الآتية في شريط الإدخال:

$A\left(t\right)=10.8{(1.026)}^t , t\ge 0$

ثم النقر على زر (Enter).

اقتران الاضمحلال الأسي: إذا نقصت كمية بنسبة مئوية ثابتة خلال فترات زمنية متساوية فإنها تنقص بشكل أسي ولإيجاد مقدار هذه الكمية التي نقصت بعد t من الزمن يمكن استعمال الاقتران الآتي:$A\left(t\right)=a{(1-r)}^t$ حيث:

A(t) هو اقتران الاضمحلال الأسي، t الفترة الزمنية ، a الكمية الابتدائية ، r النسبة المئوية للاضمحلال في فترات زمنية محددة ويسمى أساس العبارة الأسية ($1-r$) عامل الاضمحلال.

اقتران الاضمحلال الأسي اقتران أسي يتناقص بنسبة مئوية ثابتة في فترات زمنية متساوية.

مثال:

تلوث: بدأ باحثون دراسة على إحدى البحيرات؛ لتحديد مدى تأثير التلوث على عدد الأسماك فيها، فوجدوا أن عدد الأسماك في البحيرة يقل بنسبة %20 كل سنة.

1) أكتب اقتران الاضمحلال الأسي الذي يمثل عدد الأسماك في البحيرة بعد (t) سنة، علما بأن عدد الأسماك عند بدء الدراسة يساوي 12000 سمكة.

$$\begin{gathered} A\left(t\right)=a{(1-r)}^t \\ A\left(t\right)=12000{(1-0.2)}^t \\ A\left(t\right)=12000{(0.8)}^t \end{gathered}$$

إذن: اقتران الاضمحلال الأسي الذي يعبر عن عدد الأسماك في البحيرة بعد t من السنوات $A\left(t\right)=12000{(0.8)}^t$.

2) أجد عدد الأسماك في البحيرة بعد مرور 3 سنوات.

$$\begin{gathered} A\left(t\right)=12000{(0.8)}^t \\ A\left(3\right)=12000{(0.8)}^3 \\ =6144 \end{gathered}$$

إذن: يبقى في البحيرة 6144 سمكة بعد مرور 3 سنوات.

3) أمثل اقتران الاضمحلال بيانيا.

يمكنني استعمال برمجية جيوجيبرا لتمثيل الاقتران الأسي بيانيا؛ وذلك بإدخال الصيغة الآتية في شريط الإدخال:

$A\left(t\right)=12000{(0.8)}^t , t\ge 0$

ثم النقر على زر (Enter).

الاقتران الأسي الطبيعي: عندما يكون الأساس في الاقتران الأسي هو العدد النيبيري الغير النسبي $e=2.718281828....$ فإن الاقتران $f\left(x\right)=e^x$ يسمى الاقتران الأسي الطبيعي وله الخصائص نفسها للاقتران $f\left(x\right)=a^x$

مثال:

ذباب الفاكهة: وجد باحث بعد دراسة أجراها على تكاثر ذباب الفاكهة، أن العدد التقريبي للذباب يمكن تمثيله بالاقتران $Q\left(t\right)=20e^{0.03t}$، حيث Q عدد الذباب بعد t ساعة.

1) أجد العدد الابتدائي لذبابات الفاكهة عند بدء الدراسة.

$$\begin{gathered} Q\left(t\right)=20e^{0.03t} \\ Q\left(0\right)=20e^{0.03\left(0\right)} \\ =20e^0 \\ =20\left(1\right) \\ =20 \end{gathered}$$

إذن: العدد الابتدائي للذباب عند بدء الدراسة 20 ذبابة.

2) أجد عدد ذبابات الفاكهة بعد مرور 72 ساعة من بدء الدراسة، مقربا إجابتي إلى أقرب عدد صحيح.

$$\begin{gathered} Q\left(t\right)=20e^{0.03t} \\ Q\left(72\right)=20e^{0.03\left(72\right)} \\ =20e^{2.16} \\ \approx 173 \end{gathered}$$

إذن: عدد ذبابات الفاكهة بعد مرور 72 ساعة 173 ذبابة تقريبا.