الاشتقاق الضمني والمُعدَلات المرتبطة

الدرس الرابع: الاشتقاق الضمني والمُعدًلات المرتبطة

سنتعرف في درس الاشتقاق الضمني والمُعدًلات المرتبطة إلى:

1. العلاقة الضمنية.
2. اشتقاق العلاقة الضمنية.
3. معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية.
4. المعدلات المرتبطة.

 

أولًا: الاشتقاق الضمني

تنقسم العلاقات إلى قسمين

• علاقات صريحة
• علاقات ضمنية

---العلاقة الصريحة: هي العلاقة التي تكون على الصورة $y=f\left(x\right)$ ؛ أي أن $y$ بدلالة $x$ ، ومن الأمثلة عليها:

$y=x^2-5x+2$                                                          $y=\sqrt{2x+1}$                                           $y=\frac{3x-2}{x^2-4x+7}$                           $f\left(x\right)=3x^4-2x^3+x-5$                                        $f\left(x\right)=\sqrt[3]{2x-5}$                                  $f\left(x\right)=x{\left(5x^2+2x\right)}^2$

وتعلمت سابقًا طرق اشتقاقها.

 

--- العلاقة الضمنية: هي علاقة لا يكون فيها $y$ بدلالة $x$ ؛ أي ليست على الصورة $y=f\left(x\right)$ ، ومن الأمثلة عليها:

               $y+x=1$                          $y^2+x^2=4$                     $y^2=x^3+5x-3$   

                                          $x^2+x^3{y}^2=2x+y$                              $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=xy$

وسوف نتعلم في هذا الدرس كيفية اشتقاق العلاقة الضمنية

طريقة اشتقاق العلاقة الضمنية

1. أشتق  طرفي المعادلة بالنسبة إلى $x$ ، مراعيًا استعمال قاعدة السلسلة عند اشتقاق حدود تتضمن المتغير $y$ .
2. أنقل جميع الحدود التي تحوي    $\frac{dy}{dx}$  إلى طرف المعادلة الأيسر ، ثم أنقل الحدود الأُخرى إلى طرف المعادلة الأيمن.  
3. أُخرج $\frac{dy}{dx}$ عاملاً مشتركًا من حدود طرف المعادلة الأيسر.
4.  أحل المعادلة بإيجاد $\frac{dy}{dx}$ .

 

مثال 1: إذا كان: $x^2+y^2=1$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$

الحل:

المعادلة المعطاة	$x^2+y^2=1$
نشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^2+y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(1\right)$
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$
باستخدام قاعدتا مشتقة اقتران القوة ومشتقة السلسلة	$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$
بحل المعادلة	$2y\frac{dy}{dx}=-2x$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{2y} \\ =\frac{-x}{y} \end{gathered}$$

 

مثال 2: إذا كان: $3x^2+x^3{y}^2=5$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$

الحل:

المعادلة المعطاة	$3x^2+x^3{y}^2=5$
باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير $x$	$\frac{d}{dx}\left(3x^2+x^3{y}^2\right)=\frac{d}{dx}\left(5\right)$
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}\left(3x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(x^3{y}^2\right)=0$
باستخدام قواعد مشتقة القوة ومشتقة الضرب ومشتقة السلسلة	$6x+\left(x^3\right)\left(2y\frac{dy}{dx}\right)+\left(y^2\right)\left(3x^2\right)=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 6x+2x^{3}y\frac{dy}{dx}+3y^2{x}^2=0 \\ 2x^{3}y\frac{dy}{dx}=-6x-3y^2{x}^2 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-6x-3y^2{x}^2}{2x^{3}y} \end{gathered}$$

 

مثال 3: إذا كان: $y^2-xy=3$ ،   أجد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(2,3\right)$.

الحل: 

المعادلة المعطاة	$y^2-xy=3$
باشتقاق المعادلة بالنسبة للمتغير $x$	$\frac{d}{dx}\left(y^2-xy\right)=\frac{d}{dx}\left(3\right)$
باستخدام قاعدتا مشتقة الطرح ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}\left(y^2\right)-\frac{d}{dx}\left(xy\right)=0$
باستخدام قواعد مشتقة القوة ومشتقة الضرب ومشتقة السلسلة	$2y\frac{dy}{dx}-\left(\left(x\right)\left(1\right)\frac{dy}{dx}+\left(y\right)\left(1\right)\right)=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 2y\frac{dy}{dx}-x\frac{dy}{dx}-y=0 \\ 2y\frac{dy}{dx}-x\frac{dy}{dx}=y \\ \frac{dy}{dx}\left(2y-x\right)=y \\ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{2y-x} \end{gathered}$$
بتعويض $x=2 , y=3$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2\left(3\right)-2} \\ =\frac{3}{4} \end{gathered}$$

إذًا، $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(2,3\right)$ هي: $\frac{3}{4}$

 

مثال 4: إذا كان: $y^3=x^4$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$

الحل:

المعادلة المعطاة	$y^3=x^4$
باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير $x$	$\frac{d}{dx}\left(y^3\right)=\frac{d}{dx}\left(x^4\right)$
باستخدام قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة السلسلة	$3y^2\frac{dy}{dx}=4x^3$
بالتبسيط	$\frac{ dy}{dx}=\frac{4x^3}{3y^2}$

 

مثال 5: إذا كان: $x{e}^y=y{e}^x$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$

الحل:

المعادلة المعطاة	$x{e}^y=y{e}^x$
باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير $x$	$\frac{d}{dx}\left(x{e}^y\right)=\frac{d}{dx}\left(y{e}^x\right)$
باستخدام قاعدة  مشتقة الضرب	$\left(x\right)\frac{d}{dx}\left(e^y\right)+\left(e^y\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)=\left(y\right)\frac{d}{dx}\left(e^x\right)+\left(e^x\right)\frac{d}{dx}\left(y\right)$
باستخدام قواعد مشتقة القوة  ومشتقة السلسلة ومشتقة$e^x$	$$\begin{gathered} x{e}^y\frac{dy}{dx}+e^y\left(1\right)=y{e}^x+e^x\left(1\right)\frac{dy}{dx} \\ x{e}^y\frac{dy}{dx}-e^x\frac{dy}{dx}=y{e}^x-e^y \\ \frac{dy}{dx}\left(x{e}^y-e^x\right)=y{e}^x-e^y \\ \frac{dy}{dx}=\frac{y{e}^x-e^y}{x{e}^y-e^x} \end{gathered}$$

 

مثال 6: إذا كان: $x{y}^2+2e^x=3y$ ،   أجد $\frac{dy}{dx}$

الحل: 

المعادلة المعطاة	$x{y}^2+2e^x=3y$
باشتقاق طرفي المعادلة	$\frac{d}{dx}\left(x{y}^2+2e^x\right)=\frac{d}{dx}\left(3y\right)$
باستخدام قاعدة مشتقة المجموع	$\frac{d}{dx}\left(x{y}^2\right)+\frac{d}{dx}\left(2e^x\right)=\frac{d}{dx}\left(3y\right)$
باستخدام قاعدة مشتقة الضرب	$\left(x\right)\frac{d}{dx}\left(y^2\right)+\left(y^2\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(2e^x\right)=\frac{d}{dx}\left(3y\right)$
باستخدام قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة $e^x$	$\left(x\right)\left(2y\frac{dy}{dx}\right)+\left(y^2\right)\left(1\right)+\left(2e^x\right)=3\frac{dy}{dx}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 2xy\frac{dy}{dx}+y^2+2e^x=3\frac{dy}{dx} \\ 2xy\frac{dy}{dx}-3\frac{dy}{dx}=-y^2-2e^x \\ \frac{dy}{dx}\left(2xy-3\right)=-y^2-2e^x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-y^2-2e^x}{2xy-3} \end{gathered}$$

 

مثال 7:   $x^2+\sin y=2y$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$

الحل

المعادلة المعطاة	$x^2+\sin y=2y$
نشتق 'طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^2+\sin y\right)=\frac{d}{dx}\left(2y\right)$
باستخدام قاعدة مشتقة المجموع	$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(\sin y\right)=\frac{d}{dx}\left(2y\right)$
باستخدام مشتقة القوة ومشتقة $\sin x$	$2x+\cos y\frac{dy}{dx}=2\frac{dy}{dx}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \cos y\frac{dy}{dx}-2\frac{dy}{dx}=-2x \\ \frac{dy}{dx}\left(\cos y-2\right)=-2x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{\cos y-2} \end{gathered}$$

 

مثال 8: إذا كان: $x^3+\sin y=9$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$.

الحل: 

المعادلة المعطاة	$x^3+\sin y=9$
اشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير $x$	$\frac{d}{dx}\left(x^3+\sin y\right)=\frac{d}{dx}\left(9\right)$
استخدم قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}\left(x^3\right)+\frac{d}{dx}\sin y=0$
استخدم قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة السلسلة	$3x^2+\cos y\frac{dy}{dx}=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \cos y\frac{dy}{dx}=-3x^2 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-3x^2}{\cos y} \end{gathered}$$

 

مثال 9: إذا كان:  $y^2+1=x+\ln y$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(2,1\right)$

الحل:

المعادلة المعطاة	$y^2+1=x+\ln y$
باشتقاق طرفي المعادلة	$\frac{d}{dx}\left(y^2+1\right)=\frac{d}{dx}\left(x+\ln y\right)$
باستخدام قاعدة مشتقة المجموع	$\frac{d}{dx}\left(y^2\right)+\frac{d}{dx}\left(1\right)=\frac{d}{dx}\left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(\ln y\right)$
باستخدام قواعد مشتقة القوة ، ومشتقة السلسلة ومشتقة الثابت، ومشتقة $\ln y$	$2y\frac{dy}{dx}+0=1+\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 2y\frac{dy}{dx}-\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1 \\ \frac{dy}{dx}\left(2y-\frac{1}{y}\right)=1 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2x-{\displaystyle \frac{1}{y}}} \end{gathered}$$
بتعويض  $x=2 , y=1$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\left(2\right)-{\displaystyle \frac{1}{1}}} \\ =\frac{1}{4-1} \\ =\frac{1}{3} \end{gathered}$$

إذًا،  $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(2,1\right)$ هي: $\frac{1}{3}$

 

أتحقق من فهمي

1. إذا كان: $x^3-2y^2=5x+y$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$.                                     الإجابة:   $\frac{dy}{dx}=\frac{5-3x^2}{-4y-1}$
2. إذا كان:  $3x{y}^2+2e^x=7$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$.                                        الإجابة:    $\frac{dy}{dx}=\frac{-3y^2-2e^x}{6xy}$
3. إذا كان:  $y^2-y=3x$ ، أجد $\frac{dy}{dx}$ عند النقطة $\left(2,3\right)$.                الإجابة:  $\frac{dy}{dx}=\frac{3}{5}$

 

ثانيًا: معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية

يمكن إيجاد معادلة المماس لمنحنى علاقة ضمنية عند النقطة $(a, b)$ بإيجاد ميله $m= \frac{dy}{dx}{|}_{(a, b)}$، ثم التعويض في الصورة العامة لمعادلة المماس:       $y- b = m (x-a)$

مثال 1: أجد ميل المماس لمنحنى العلاقة: $y^2-y=3x$ عند النقطة $\left(2,3\right)$.

الحل:

                     ميل المماس لمنحنى العلاقة يساوي  المشتقة عند النقطة$\left(2,3\right)$

المعادلة المعطاة	$y^2-y=3x$
نشتق طرفي المعادلة	$\frac{d}{dx}\left(y^2-y\right)=\frac{d}{dx}\left(3x\right)$
استخدم قواعد مشتقة الطرح ومشتقة القوة وشتقة السلسلة	$$\begin{gathered} \frac{d}{dx}\left(y^2\right)-\frac{d}{dx}\left(y\right)=3 \\ 2y\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=3 \end{gathered}$$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}\left(2y-1\right)=3 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2y-1} \end{gathered}$$
بتعويض  $y=3$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2\left(3\right)-1} \\ =\frac{3}{5} \end{gathered}$$

      إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,3\right)$ هو: $\frac{3}{5}$               

 

مثال 2: أجد ميل المماس لمنحنى العلاقة: $4x-xy=x^2+8$ عند النقطة $\left(2,-2\right)$

الحل:

                    ميل المماس لمنحنى العلاقة يساوي المشتقة عند النقطة $\left(2,-2\right)$

المعادلة المعطاة	$4x-xy=x^2+8$
نشتق طرفي المعادلة للمتغير $x$	$\frac{d}{dx}\left(4x-xy\right)=\frac{d}{dx}\left(x^2+8\right)$
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الطرح	$\frac{d}{dx}\left(4x\right)-\frac{d}{dx}\left(xy\right)=\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(8\right)$
باستخدام قواعد مشتقة القوة ومشتقة الضرب ومشتقة الثابت	$$\begin{gathered} 4-\left(\left(x\right)\frac{d}{dx}\left(y\right)+\left(y\right)\frac{d}{dx}\left(x\right)\right)=2x+0 \\ 4-\left(\left(x\right)\frac{dy}{dx}+y\left(1\right)\right)=2x \\ 4-x\frac{dy}{dx}-y=2x \\ -x\frac{dy}{dx}=2x+y-4 \\ \frac{dy}{dx}=\frac{2x+y-4}{-x} \end{gathered}$$
نعوض $x=2 , y=-2$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{2\left(2\right)+\left(-2\right)-4}{-\left(2\right)} \\ =\frac{4-2-4}{-2} \\ =1 \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(2,-2\right)$ هو: $1$

 

مثال 3: أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: $x^2+3y^2=13$ عند النقطة $\left(-1,2\right)$.

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل منحنى العلاقة عند النقطة$\left(-1,2\right)$.

المعادلة المعطاة	$x^2+3y^2=13$
بإشتقاق طرفي المعادلة	$\frac{d}{dx}\left(x^2+3y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(13\right)$
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(3y^2\right)=0$
باستخدام قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة السلسلة	$2x+6y\frac{dy}{dx}=0$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} 6y\frac{dy}{dx}=-2x \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-2x}{6y} \end{gathered}$$
بتعويض  $x=-1 , y=2$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(-1\right)}{6\left(2\right)} \\ =\frac{2}{12} \\ =\frac{1}{6} \end{gathered}$$

  إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة هو: $\frac{1}{6}$

الخطوة 2: أجد معادلة المماس عند النقطة $\left(-1,2\right)$.

معادلة المماس عند النقطة $(a, b)$	$y-b=m\left(x-a\right)$
بتعويض $m=\frac{1}{6} , a=-1 , b=2$	$y-2=\frac{1}{6}\left(x--1\right)$
بالتبسيط من خلال الضرب وإضافة $2$ لطرفي المعادلة والجمع	$$\begin{gathered} y-2=\frac{1}{6}x+\frac{1}{6} \\ y=\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}+2 \\ y=\frac{1}{6}x+\frac{13}{6} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(-1,2\right)$ هي: $y=\frac{1}{6}x+\frac{13}{6}$

 

مثال4: أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: $x^{2}y+y^2=12$ عند النقطة $\left(1,3\right)$.

الحل: 

الخطوة 1: أجد ميل المماس عند النقطة $\left(1,3\right)$

المعادلة المعطاة	$x^{2}y+y^2=12$
نشتق طرفي المعادلة	$\frac{d}{dx}\left(x^{2}y+y^2\right)=\frac{d}{dx}\left(12\right)$
باستخدام قاعدتا مشتقة المجموع ومشتقة الثابت	$\frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right)+\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0$
باستخدام قاعدتا مشتقة الضرب ومشتقة القوة ومشتقة السلسلة	$$\begin{gathered} \left(x^2\right)\left(\frac{d}{dx}\left(y\right)\right)+\left(y\right)\left(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(y^2\right)=0 \\ x^2\frac{dy}{dx}+y\left(2x\right)+2y\frac{dy}{dx}=0 \end{gathered}$$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} x^2\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=-2xy \\ \frac{dy}{dx}\left(x^2+2y\right)=-2xy \\ \frac{dy}{dx}=\frac{-2xy}{x^2+2y} \end{gathered}$$
بتعويض $x=1 , y=3$	$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{-2\left(1\right)\left(3\right)}{{\left(1\right)}^2+2\left(3\right)} \\ =\frac{-6}{7} \end{gathered}$$

إذًا، ميل المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(1,3\right)$ هو: $\frac{-6}{7}$

الخطوة 2: أجد معادلة المماس عند النقطة $\left(1,3\right)$

معادلة المماس	$y-b=m\left(x-a\right)$
بتعويض $a=1 , b=3 , m=\frac{-6}{7}$	$y-3=\frac{-6}{7}\left(x-1\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} y-3=\frac{-6}{7}x+\frac{6}{7} \\ y=\frac{-6}{7}x+\frac{27}{7} \end{gathered}$$

إذًا، معادلة المماس لمنحنى العلاقة عند النقطة $\left(1,3\right)$ هي: $y=\frac{-6}{7}x+\frac{27}{7}$

 

أتحقق من فهمي

1) أجد ميل المماس لمنحنى العلاقة:$y^2+2x^2=3y$  عند النقطة $\left(-1,2\right)$.              الإجابة: ميل المماس هو: $4$

2) أجد معادلة المماس لمنحنى العلاقة: $2x^2-y^{2}x=3y$ عند النقطة $\left(3,2\right)$.         الإجابة: معادلة المماس هي: $y=\frac{8}{15}x+\frac{2}{5}$

 

ثالثًا: المُعدَلات المرتبطة بالزمن

هناك كثير من المسائل الحياتية يتطلب حلها إيجاد معدل التغير بالنسبة للزمن وتسمى معُدَلات مرتبطة بالزمن ومن الأمثلة عليها معدل تغير المساحة بالنسبة للزمن ، ومعدل تغير الحجم بالنسبة للزمن ومعدل تغير المسافة بالنسبة للزمن. 

يكون معدل التغير موجباً إذا كان معدل التغير متزايدًا ، ويكون معدل التغير سالباً إذا كان معدل التغير متناقصًا.

ولحل المُعدَلات المرتبطة بالزمن نستخدم الاشتقاق الضمني بالنسبة للزمن وقاعدة السلسلة.

 

مثال 1: قرص دائري معدني يتمدد بالحرارة محافظًا على شكله بمعدل $3 c{m}^2/s$ ، أجد معدل تغير طول نصف قطر القرص عندما يكون طوله $6 cm$. علمًا بأن العلاقة التي تربط مساحة الدائرة $\left(A\right)$ وطول نصف قطرها $\left(r\right)$ هي: $A={\mathrm{\pi r}}^2$

الحل: 

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب

المعطيات:

المعادلة:     $A=\pi r^2$

معدل التغير المعطى:  $\frac{dA}{dt}=3$ 

المطلوب: $\frac{dr}{dt}$ عندما $r=6$

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة  للزمن $t$، ثم أُعوض

المعادلة	$A={\mathrm{\pi r}}^2$
أشتق طرفي المعادلة بالنسبة  ل $t$	$\frac{d}{dt}\left(A\right)=\frac{d}{dt}\left({\mathrm{\pi r}}^2\right)$
أستخدم قاعدة السلسلة ومشتقة القوة	$\frac{dA}{dt}=2\mathrm{\pi r}\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}$
أُعوض $\frac{dA}{dt}=3 , r=6$	$3=2\mathrm{\pi }\left(6\right)\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}$
بالتبسيط	$\frac{dr}{dt}=\frac{3}{12\mathrm{\pi }}=\frac{1}{4\mathrm{\pi }}$

إذًا، يزداد طول نصف قطر  القرص بالنسبة للزمن بمقدار $\left(\frac{1}{4\mathrm{\pi }}\right) cm/s$ عندما يكون طوله $r=6 cm$

 

مثال 2: صفيحة معدنية مستطيلة الشكل تتمدد بانتظام بحيث يزداد طولها بمعدل $\left(3 \right) cm/s$ ، ويزداد عرضها بمعدل $\left(2\right)cm/s$، وفي لحظة معينة كان طولها$\left(40\right) cm$،وعرضها يساوي $\left(30\right) cm$. أجد معدل التغير  في مساحة الصفيحة المعدنية في تلك اللحظة. علمًا بأن العلاقة التي تربط بين مساحة المستطيل $\left(A\right)$ وطوله $\left(x\right)$ وعرضه $\left(y\right)$ هي: $A=xy$ .

الحل: 

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب

المعطيات:

المعادلة:                    $A=xy$   

معدل التغير المعطى: $\frac{dx}{dt}=3 , \frac{dy}{dt}=2$  

المطلوب: $\frac{dA}{dt}$ عندما  $x=40 , y=30$      

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $t$ ، ثم أُعوض

المعادلة	$A=xy$
أشتق طرفي المعادلة بالنسبة ل $t$	$\frac{d}{dt}\left(A\right)=\frac{d}{dt}\left(xy\right)$
أستخدم قاعدتا مشتقة الضرب ومشتقة السلسلة	$$\begin{gathered} \frac{dA}{dt}=\left(\left(x\right)\left(\frac{d}{dt}\left(y\right)\right)+\left(y\right)\left(\frac{d}{dt}\left(x\right)\right)\right) \\ \frac{dA}{dt}=x\frac{dy}{dt}+y\frac{dx}{dt} \end{gathered}$$
أُعوض $x=40 , y=30 , \frac{dx}{dt}=3 . \frac{dy}{dt}=2$	$\frac{dA}{dt}=\left(40\right)\left(2\right)+\left(30\right)\left(3\right)$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} \frac{dA}{dt}=80+90 \\ =170 \end{gathered}$$

إذًا، تزداد مساحة الصفيحة المعدنية  بمقدار$\left(170\right) c{m}^2/s$ عندما عرضها  $30 cm$ وطولها $40 cm$

 

مثال 3: مكعب من الثلج يذوب محافظًا على شكله بمعدل $\left(2\right) c{m}^3/s$، جد معدل التناقص في طول ضلعه عندما يكون طول ضلعه $\left(5\right) cm$.علمًا بأن العلاقة التي تربط بين حجم المكعب $\left(V\right)$وطول ضلعه $\left(x\right)$ هي: $V=x^3$.

الحل:

الخطوة 1: أُحدد المعطيات والمطلوب المعادلة 

المعطيات:  

      المعادلة:                           $V=x^3$

                                      $\frac{dV}{dt}=-2$     (المكعب يذوب، إذن أضع إشارة السالب ليدل على التناقص)

المطلوب:

             $\frac{dx}{dt}=?$      عندما   $x=5$

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $t$ ، وأُعوض

المعادلة	$V=x^3$
أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير $t$	$\frac{d}{dt}\left(V\right)=\frac{d}{dt}\left(x^3\right)$
أستخدم قاعدتا مشتقة القوة ومشتقة السلسلة	$\frac{dv}{dt}=2x^2\frac{dx}{dt}$
أُعوض      $\frac{dV}{dx}=-2 , x=5$	$-2=2{\left(5\right)}^2\frac{dx}{dt}$
بالتبسيط	$$\begin{gathered} -2=2{\left(5\right)}^2\frac{dx}{dt} \\ -2=50\frac{dt}{dx} \\ \frac{dt}{dt}=\frac{-2}{50} \end{gathered}$$

إذًا، يتناقص طول ضلع المكعب بمقدار  $\left(\frac{-2}{50}\right) cm/s$ عندما طول ضلعه $5 cm$

 

مثال 4: بالون كروي يتزايد طول نصف قطره بمعدل $\left(1\right) cm$، أجد معدل تغير حجمه عندما يكون طول نصف قطره $\left(5\right) cm$. علمًا بأن العلاقة التي تربط بين الحجم $\left(V\right)$ وطول نصف قطر البالون الكروي $\left(r\right)$ هي: $V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi }{r}^3$ .

الحل: 

الخطوة 1: أحدد المعطيات والمطلوب

المعطيات:  

               المعادلة:              $V=\frac{4}{3}\pi r^3$

                                             $\frac{dr}{dt}=1$

المطلوب:

                        $\frac{dV}{dt}=?$ ، عندما $r=5$

الخطوة 2: أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $t$ ، وأُعوض

المعادلة	$V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$
أشتق طرفي المعادلة بالنسبة للمتغير $t$	$\frac{d}{dt}\left(V\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3\right)$
استخدام قاعدتا مشتقة السلسلة ومشتقة القوة	$\frac{dV}{dt}=4{\mathrm{\pi r}}^2\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}$
أُعوض $\frac{dr}{dt}=1 , r=5$	$\frac{dV}{dt}=4\mathrm{\pi }{\left(5\right)}^2\left(1\right)$
بالتبسيط	$\frac{dV}{dt}=100\mathrm{\pi }$

إذًا، يزداد حجم البالون الكروي بمعدل $\left(100\mathrm{\pi }\right) c{m}^3/s$ عندما يكون طول نصف قطرها $5 cm$

 

أتحقق من فهمي

كرة من المعدن تتمدد بالحرارة مع المحافظة على شكلها ، فإذا كان حجمها يتزايد  بمعدل $\left(200\mathrm{\pi }\right) c{m}^3/s$ ، أجد معدل التغير في طول نصف قطرها عندما يكون طول نصف قطرها $\left(5\right) cm$

                                                        الإجابة: يزداد طول نصف قطر الكرة بمقدار  $\left(2\right) cm/s$ عندما يكون طول نصف قطرها $5 cm$