الاحتمال التجريبي

تعلمْنا في الدرسِ السابقِ الاحتمالَ النظري  وهو كيفيةَ إيجادِ احتمالِ وقوعِ حادثٍ، وَذلكَ بِإيجادِ نسبةِ عددِ عناصرِ حادثٍ إلى عددِ النواتجِ الممكنةِ جميعِها وسنتعلم خلال هذا الدرس الاحتمال التجريبي 

مفاهيم أساسية : 

الاحتمال التجريبي : هُوَ تقديرٌ لِلاحتمالِ النظريِّ بِالاعتمادِ على عددِ مرّاتِ وقوعِ الحادثِ عندَ إجراءِ التجربةِ عدةَ مراتٍ. ويمكن تعريفه بأنه الاحتمالُ الّذي يعتمدُ على عددِ مرّاتِ تَكرارِ التجربةِ.

$\frac{\mathbf{عدد}\mathbf{ }\mathbf{مرات}\mathbf{ }\mathbf{وقوع}\mathbf{ }\mathbf{الحادث}\mathbf{ }}{\mathbf{عدد}\mathbf{ }\mathbf{مرات}\mathbf{ }\mathbf{إجراء}\mathbf{ }\mathbf{التجربة}\mathbf{ }}\mathbf{=}\mathbf{\left(}\mathbf{A}\mathbf{\right)}\mathbf{P}$

مثال 1:ألقَتْ نورُ حجرَ النردِ المجاورَ 30 مرةً، وَسجّلَتِ الرقْمَ الظاهرَ على الوجهِ العُلوِيِّ، فَكانَتِ النتائجُ كما في الجدولِ المجاورِ:

6	5	4	3	2	1	الرقم
4	6	3	2	8	7	التكرار

1) أَجِدُ الاحتمالَ التجريبيَّ لِظهورِ الرقْمِ 4

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{عدد} \mathrm{مرات} \mathrm{ظهور} \mathrm{الرقم} 4 }{\mathrm{عدد} \mathrm{مرات} \mathrm{إجراء} \mathrm{التجربة} }={}_{(\mathrm{ظهور} \mathrm{الرقم} 4)}\mathrm{P} \\ \frac{3}{4+6+3+2+8+7} = \\ \frac{3}{30}= \\ \frac{1}{10}= \end{gathered}$$

2) أَجِدُ الاحتمالَ التجريبيَّ لِظهورِ عددٍ أوّليٍّ.

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{عدد} \mathrm{مرات} \mathrm{ظهور} \mathrm{عدد} \mathrm{أولي} }{\mathrm{عدد} \mathrm{مرات} \mathrm{إجراء} \mathrm{التجربة} }{=}_{( \mathrm{ظهور} \mathrm{عدد} \mathrm{أولي})}\mathrm{P} \\ \frac{8+6+2}{30} = \\ \frac{16}{30} = \\ \frac{8}{15} = \end{gathered}$$

يمكنُ التنبؤُ ما إذا كانَتِ الأداةُ المستخدمةُ في التجربةِ العشوائيةِ عادلةً أَمْ لا بِمقارنةِ قِيَمِ الاحتمالِ التجريبيِّ بِقِيَمِ الاحتمالِ النظريِّ المقابلةِ لَها.

مثال 2:ألقى كلٌّ مِنْ ريمَ وَرائدٍ حجرَ نردٍ 100 مرةً، فَكانَتِ النتائجُ كَما في الجدولَينِ أدناهُ:

ريم 6 5 4 3 2 1 الرقم 25 30 10 20 10 5 التكرار

رائد 6 5 4 3 2 1 الرقم 15 17 17 15 18 18 التكرار

1) أقارنُ بينَ قِيَمِ الاحتمالِ النظريِّ وَقِيَمِ الاحتمالِ التجريبيِّ لِتجربةِ كلٍّ مِنْ ريمَ وَرائدٍ.

الْخُطْوَةُ 1: أَجِدُ الاحتمالَ النظريَّ لِظهورِ كلِّ رقْمٍ على حجرِ النردِ:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(1\right)=\frac{1}{6}=0.17, \mathrm{P}\left(2\right)=\frac{1}{6}=0.17, \mathrm{P}\left(3\right)=\frac{1}{6}=0.17 \\ \mathrm{P}\left(4\right)=\frac{1}{6}=0.17, \mathrm{P}\left(5\right)=\frac{1}{6}=0.17, \mathrm{P}\left(6\right)=\frac{1}{6}=0.17 \end{gathered}$$

الْخُطْوَةُ 2 :أَجِدُ الاحتمالَ التجريبيَّ لِظهورِ كلِّ رقْمٍ على حجرِ النردِ:

ريم  $$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(1\right)=\frac{5}{100}=0.05, \mathrm{P}\left(2\right)=\frac{10}{100}=0.1 \\ \mathrm{P}\left(3\right)=\frac{20}{100}=0.20, \mathrm{P}\left(4\right)=\frac{10}{100}=0.1 \\ \mathrm{P}\left(5\right)=\frac{30}{100}=0.30, \mathrm{P}\left(6\right)=\frac{25}{100}=0.25 \end{gathered}$$

رائد $$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(1\right)=\frac{18}{100}=0.18, \mathrm{P}\left(2\right)=\frac{18}{100}=0.18 \\ \mathrm{P}\left(3\right)=\frac{15}{100}=0.15, \mathrm{P}\left(4\right)=\frac{17}{100}=0.17 \\ \mathrm{P}\left(5\right)=\frac{17}{100}=0.17, \mathrm{P}\left(6\right)=\frac{15}{100}=0.15 \end{gathered}$$

الْخُطْوَةُ 3: أقارنُ بينَ الاحتمالاتِ النظريةِ وَالتجريبيةِ:

ألاحظُ أَنَّ قِيَمَ الاحتمالِ التجريبيِّ في تجربةِ ريمَ ليسَتْ قريبةً مِنْ قِيَمِ الاحتمالِ النظريِّ المقابلةِ لَها. أَمّا قِيَمُ الاحتمالِ التجريبيِّ في تجربةِ رائدٍ فَقريبةٌ مِنْ قِيَمِ الاحتمالِ النظريِّ المقابلةِ لَها.

 

2) أيٌّ منهُما قدْ يكونُ استعملَ حجرَ نردٍ عادلً؟ أبرّرُ إجابتي.

قِيَمُ الاحتمالِ النظريِّ قريبةٌ مِنْ قِيَمِ الاحتمالِ التجريبيِّ في تجربةِ رائدٍ؛ لذا، مِنَ المتوقعِ أَنْ تكونَ حجرُ النردِ الّتي استخدمَها رائدٌ عادلً.

 

يمكنُنا استعمالُ الاحتمالِ النظريِّ في مواقفَ حياتيةٍ كثيرةٍ، مِنْ أهمِّها بناءُ توقّعاتٍ لِأحداثٍ يصعبُ حسابُ احتمالاتِ وقوعِها نظريًّا.

مثال 3: منَ الحياةِ:يأخذُ خبراءُ التفتيشِ في المطاراتِ وَالموانئِ البحريةِ عيّناتٍ عشوائيةً مِنَ البضاعةِ المستورَدَةِ لِإختبارِ مدى مطابقتِها لِلمواصفاتِ. فَإذا وجدَ ضابطُ الجودةِ في 5 بناطيلَ
عيوبًا مصنعيةً مِنْ 200 بنطالٍ في أحدِ صناديقِ الشحنِ، فَكَمْ بنطالً يُتوقَّعُ وجودُ عيبٍ مصنعيٍّ فيهِ في شحنةٍ تحوي 5000 بنطالٍ؟

أستعملُ الاحتمالَ التجريبيَّ لِتوقّعِ عددِ البناطيلِ الّتي يوجدُ فيها عيوبٌ مصنعيةٌ في الشحنةِ.

الْخُطْوَةُ 1: أَجِدُ الاحتمالَ التجريبيَّ:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{عدد} \mathrm{مرات} \mathrm{وقوع} \mathrm{الحادث} }{\mathrm{عدد} \mathrm{مرات} \mathrm{إجراء} \mathrm{التجربة} }=\left(\mathrm{A}\right)\mathrm{P} \\ \frac{5}{200}= \\ \frac{1}{40}= \end{gathered}$$

الْخُطْوَةُ 2: أضربُ الاحتمالَ التجريبيَّ لِوجودِ بناطيلَ فيها عيوبٌ مصنعيةٌ في عددِ البناطيلِ التي تحويها الشحنةُ:

$\frac{1}{40}\times 5000=125$

إذنْ، يُتوقَّعُ وجودُ 125 بنطالً فيها عيوبٌ مصنعيةٌ في الشحنةِ.