الاحتمالات

مفاهيم أساسية : 

الفضاءُ العينِيُّ: هُوَ مجموعةُ النواتجِ المتوقَّعِ حدوثُها عندَ إجراءِ تجربةٍ عشوائيةٍ ما. 

مثال : 

.{1, 3, 5, 7, خمسُ نواتجَ ممكنةٍ، لِذلِكَ فَإِنَّ الفضاءَ العينِيَّ هُوَ { 9 A لِمؤشِّرِ القُرصِِ

- عندَ تدويرِ مؤشرِ القرصِ A يكونُ لِكلِّ عددٍ فرصةُ الظهورِ نفسُها، لِذلِكَ تُسمّى نواتجُ هذِهِ التجربةِ نواتجَ متساويةَ الِاحتمالِ ولذلك تسمّى تجربةً عادلةً.

-  عندَ تدويرِ مؤشرِ القرصِ B تكونُ فُرَصُ ظهورِ الأعدادِ مختلفةً، لِذلِكَ تُسمّى نواتجُ هذِهِ التجربةِ نواتجَ غيرَ متساويةِ الِإحتمالِ

 

الحادثُ : هو ناتجٌ واحدٌ أَوْ أَكثرُ مِنْ نواتجِ التجربةِ العشوائيةِ، وَيُرمَزُ لَهُ بِأحدِ الأحرفِ مِثلِ A 

احتمالُ الحادثِ : هُوَ فرصةُ وقوعِهِ، وَيُرمَزُ لَهُ بِالرمزِ P(A) فَإذا كانَتْ نواتجُ التجربةِ العشوائيةِ ، متساويةَ الِإحتمالِ فَإنَّ احتمالَ وقوعِ أيِّ حادثٍ يساوي نسبةَ عددِ عناصرِ الحادثِ إلى عددِ النواتجِ الممكنةِ جميعِها(الفضاءُ العينِيُّ).

 $\frac{\mathbf{\text{عددُ عناصرِ الحادثِ}}}{\mathbf{عددُ}\mathbf{ }\mathbf{عناصرِ}\mathbf{ }\mathbf{الفضاءِ}\mathbf{ }\mathbf{العينيِّ}}\mathbf{=}\left(A\right)\mathbf{P}$

تعني النسبةُ %0 أَنَّ الحادثَ لا يمكنُ أَنْ يقعَ، أَمّا النسبةُ %100 فَتعني أَنَّ الحادثَ سوفَ يقعُ بِالتأكيدِ. وَيكونُ احتمالُ وقوعِ أيِّ حادثٍ بينَ هاتَينِ النسبتَينِ كَما يظهرُ في مقياسِ الاحتمالِ أدناهُ:

مثال 1:لدى حنينَ كيسٌ يحتوي على قطعِ حلوى بِألوانٍ مختلفةٍ، إذا أغمضَتْ حنينُ عينَيْها وَسحبَتْ قطعةَ حلوى عشوائيًّا مِنَ الكيسِ، فَأَجِدُ:

1) احتمالَ سحبِ قطعةِ حلوى حمراءَ:

عددُ النواتجِ الممكنةِ(الفضاءُ العينِيُّ) لِهذِهِ التجربةِ العشوائيةِ يساوي 12 وَعددُ عناصرِ هذا الحادثِ يساوي 5  لَِأنَّ الكيسَ فيهِ 5 قطعِ حلوى حمراءَ. $\mathrm{P}\left(\mathrm{حمراء}\right)=\frac{5}{12}$

2)احتمالَ سحبِ قطعةِ حلوى خضراءَ أَوْ برتقاليةٍ:

عددُ عناصرِ هذا الحادثِ يساوي 4 ؛ لِأنَّ الكيسَ فيهِ 3 قطعِ حلوى خضراءَ وَقطعةُ حلوى برتقاليةٌ واحدةٌ وَمجموعُها معًا يساوي 4 $\mathrm{P}\left(\mathrm{خضراءُ} \mathrm{أَوْ} \mathrm{برتقاليةٌ}\right)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$

3) احتمالَ سحبِ قطعةِ حلوى ليسَتْ بنفسجيةً: 

عددُ عناصرِ هذا الحادثِ يساوي 11 ؛ لَِانَّ الكيسَ يحتوي 11 قطعةَ حلوى ليسَتْ بنفسجيةً: $\mathrm{P}\left(\mathrm{بنفسجية} \mathrm{ليست}\right)=\frac{11}{12}$

4) احتمالَ سحبِ قطعةِ حلوى زرقاءَ:

عددُ عناصرِ هذا الحادثِ يساوي 0 ؛ لَِانَّ الكيسَ لا يحتوي على قطعةِ حلوى زرقاءَ $\mathrm{P}\left(\mathrm{زرقاء}\right)=\frac{0}{12}=0$

 

إِنَّ احتمالَ اختيارِ العددِ 4 مِنْ مجموعةِ الأعدادِ الآتيةِ يساوي $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{10}}$وَيمكنُ أَنْ نكتبَ هذا الاحتمالَ على الصورةِ 0.1 أو %10

لكنْ إذا أردْنا أنْ نحسبَ احتمالَ عدمِ اختيارِ العددِ 4 فَإِنَّ ذلكَ يعني احتمالَ اختيارِ أحدِ الأعدادِ 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10,9 وَالّذي يساوي $\frac{9}{10}$أَوْ 0.9 أَوْ %90

0.1 + 0.9 = ألاحظُ أَنَّ 1

0.9 = 1 – لِذلِكَ فَإِنَّ 0.1

 

احتمال عدم وقوع الحادث : إذا كانَ احتمالُ وقوعِ الحادثِ A يساوي P(A)  فَإِنَّ احتمالَ عدمِ وقوعِ الحادثِ A يساوي $\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{P}\left(A\right)$

مثال 2: 

1) إذا كانَ احتمالُ اختيارِ طالبٍ مِنَ الصفِّ السابعِ لديهِ دراجةٌ هوائيةٌ يساوي $\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{10}}$فَما احتمالُ اختيارِ طالبٍ ليسَ لديهِ دراجةٌ هوائيةٌ

$$\begin{gathered} {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{لديه} \mathrm{ليس} \right) }=1-{\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{دراجة} \mathrm{لديه}\right)} \\ =1-\frac{6}{10} \\ =\frac{4}{10} \\ =\frac{2}{5} \end{gathered}$$

 

2) إذا كانَ احتمالُ أَنْ يهطلَ المطرُ غدًا يساوي 0.7 ، فَما احتمالُ أَلّا يهطلَ المطرُ غدًا؟

 

$$\begin{gathered} {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{أمطار} \mathrm{لا}\right)} =1-{\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{مطر} \mathrm{هطول}\right)} \\ =1-0.7 \\ =0.3 \end{gathered}$$

 

الجدولُ ذو الِاتجاهَينِ : هُوَ جدولٌ تَكراريٌّ يعرضُ بياناتٍ تنتمي إلى فئتَينِ بينَهما عناصرُ مشترَكةٌ، بِحيثُ تظهرُ الفئةُ الأولى في صفوفِهِ وَالفئةُ الثانيةُ في أعمدتِهِ. 

مثال 3: لدى مزارعٍ 18 خروفًا مقسمةً كما يأتي: (9 ذكورٌ ، 10 سوداءُ ، 5 إناثٌ بيضاءُ) أنظّمُ هذِهِ البياناتِ في جدولٍ ذي اتجاهَينِ.

يجبُ أَنْ يُظهرَ الجدولُ ما إذا كانَ الخروفُ ذكرًا أَوْ أنثى، وَإِنْ كانَ أسودَ أَمْ أبيضَ. لِذلِكَ يمكنُ أَنْ أستخدمَ صفًّا لِلذكورِ وَصفًّا آخَرَ لِلإناثِ، وَأَنْ أستخدمَ عمودًا لِلخرافِ البيضاءِ وَعمودًا آخَرَ لِلخرافِ السوداءِ. وأحتاجُ إلى صفٍّ وَعمودٍ إضافيَّينِ لِأكتبَ فيهِما المجموعَ.

يمكنني الآنَ أَنْ أكتبَ في الجدولِ البياناتِ المُعطاةَ في السؤالِِ.

المجموع	أسود	أبيض
		5	أنثى
9			ذكر
18	10		المجموع

استعمل المجموعَ الكلّيَّ لِلخرافِ لَِأجِدَ القِيَمَ المجهولةَ. 

المجموع	أسود	أبيض
9	4	5	أنثى
9	6	3	ذكر
18	10	8	المجموع

 

تُستعمَلُ الجداولُ ذاتُ الاتجاهَينِ كثيرًا في حسابِ الاحتمالاتِ.

مثال 4:سُئلِ 60 طفاً عَنِ اللونِ المفضَّلِ لَهُمْ، وَنظِّمَتْ إجاباتُهُمْ في الجدولِ المجاورِ:

1) إذا اخْتيرَ طفلٌ عشوائيًّا، فَما احتمالُ أَنْ يكونَ ولدًا يفضّلُ اللونَ الأزرقَ؟

عددُ الأولادِ الّذينَ يفضلونَ اللونَ الأزرقَ يساوي 12 ، وَمجموعُ عددِ الأطفالِ الّذين سُئِلوا يساوي 60 وَلإيجادِ الاحتمالِ أقسمُ 12 على 60

$$\begin{gathered} {\mathrm{P}}_{\left({\mathrm{الازرق} \mathrm{يفضل}}^{}\mathrm{أولاد}\right)}=\frac{{\mathrm{الازرق} \mathrm{يفضلون}}^{}\text{أولاد}}{{\mathrm{الكلي}}^{}\mathrm{الاطفال} \mathrm{عدد}} \\ = \frac{12}{60} \\ = \frac{1}{5} \end{gathered}$$

2) إذا اختيرَ طفلٌ عشوائيًّا، فَما احتمالُ أَنْ يكونَ طفلً يفضلُ اللونَ الأزرقَ؟ 

عددُ الأطفالِ الّذين يفضلونَ اللونَ الأزرقَ يساوي8بنات و 12 ولد  وَلإيجادِ الاحتمالِ، أقسمُ هذا العددَ على عددِ الطلبةِ جميعِهِمْ.

$$\begin{gathered} {\mathrm{P}}_{\left({\mathrm{الازرق} \mathrm{يفضل}}^{}\mathrm{طفل}\right)}=\frac{{\mathrm{الازرق} \mathrm{يفضلون}}^{}\text{أطفال}}{{\mathrm{الكلي}}^{}\mathrm{الاطفال} \mathrm{عدد}} \\ = \frac{12+8}{60} \\ = \frac{20}{60} \\ = \frac{1}{3} \end{gathered}$$

3) إذا اختيرَ طفلٌ عشوائيًّا، فَما احتمالُ أَنْ يكونَ ولدًا؟ 

عددُ الأولادِ يساوي 8+8+12 ، وَلإيجادِ الاحتمالِ، أقسمُ هذا العددَ على عددِ الطلبةِ جميعِهِمْ. 

$$\begin{gathered} {\mathrm{P}}_{\left(\mathrm{ولد} \mathrm{طفل}\right)}=\frac{{\mathrm{الأولاد}}^{}\mathrm{الاطفال} \mathrm{عدد}}{{\mathrm{الكلي}}^{}\mathrm{الاطفال} \mathrm{عدد}} \\ =\frac{12+8+8}{60} \\ = \frac{28}{60} \\ = \frac{7}{15} \end{gathered}$$