الأجزاءُ المُتناسِبةُ في المُثلَّثاتِ

•• أتذكَّرُ : تعلَّمْتُ سابقًا أنَّهُ يُمكِنُ إثباتُ تشابهِ مُثلَّثينِ باستعمالِ عددٍ منَ المُسلَّماتِ والنظرياتِ مثلِ : التشابهِ بزاويتينِ(AA) ،

والتشابهِ بثلاثةِ أضلاعٍ ( SSS )، والتشابهِ بضلعينِ وزاويةٍ محصورة (SAS).

يُبيِّنُ الشكلُ المُجاوِرُ المُثلَّثَ ABC ، حيثُ: ،$\overleftrightarrow{DE} ll \overline{BC}$  و$\overleftrightarrow{DE}$ يقطعُ $\overline{AB}$ في D، ويقطعُ

$\overline{AC}$ في E. فإنه يُمكن إثبات أنّ المثلثين ΔABC و ΔADE  متشابهان ، وذلكَ باستعمالِ

مُسلَّمةِ التشابهِ AA . وبما أنَّ المُثلَّثينِ مُتشابِهانِ، فإنَّ أطوالَ أضلاعِهِما مُتناسِبةٌ،

وهذا يقودُنا إلى النظريةِ الآتيةِ.

بالكلماتِ : إذا وازى مستقيمٌ ضلعًا منْ أضلاعِ مُثلَّثٍ، وقطعَ ضلعيْهِ الآخرينِ،

فإنَّهُ يُقسِّمُهُما إلى قطعٍ مستقيمةٍ مُتناظِرةٍ أطوالُها مُتناسِبةٌ.

بالرموزِ : إذا كانَ : $\overline{BD} ll\overline{ AE}$ ، فإنّ  $\frac{BA}{CB}= \frac{DE}{CD}$

في $△ABC$  إذا كانَ $\overline{DS} ll \overline{AC}$

$AD = 2cm , AB = 7cm , CS = 2.5cm$

فأجد $SB$.  

بالكلماتِ : إذا قطعَ مستقيمٌ ضلعينِ في مُثلَّثٍ، وقسَّمَهُما إلى قطعٍ مستقيمةٍ مُتناظِرةٍ

أطوالُها مُتناسِبةٌ، فإنَّ المستقيمَ يوازي الضلعَ الثالثَ للمُثلَّثِ.

بالرموزِ : إذا كانَ $\frac{AB}{BC}=\frac{ED}{DC}$ ، فإنّ $\overline{BD} ll \overline{AE}$ 

في $△PQR$إذا كانَ

$PT=12 cm , TR=9 cm , PS=10 cm , SQ=7.5 cm$

 بيّن أنّ $\overline{ST}\hspace{0.17em}ll \overline{QR}$ ، مبررًا ذلك.

القطعةُ المُنصِّفةُ في المُثلَّثِ  : هيَ قطعةٌ مستقيمةٌ طرفاها نقطتا منتصفِ ضلعين في المُثلَّثِ، وفي كلِّ مُثلَّثٍ ثلاثُ قطعٍ مُنصِّفةٍ. فمثلًا ، القطعُ المُنصِّفةُ في $△PQR$

المُجاور هي : $\overline{XY} , \overline{YZ} , \overline{XZ}$

بالكلماتِ : القطعةُ المُنصِّفةُ في المُثلَّثِ توازي الضلعَ المُقابِلَ لها، وطولُها يساوي

نصفَ طولِ ذلكَ الضلعِ.

بالرموزِ : إذا كانَتِ النقطةُ D والنقطةُ E هما نقطتَيْ منتصفِ $\overline{ BC} و \overline{AB}$ على الترتيبِ،فإنَّ : 

$\overline{DE} ll \overline{AC} and DE = \frac{1}{2} AC$

استخدم المعلومات المُعطاة في الرسم المُجاور لإيجاد كل مما يأتي : 

$$\begin{gathered} 1) RN 3) m\angle MCN \\ 2) CB 4) m\angle RMC \end{gathered}$$