اشتقاق اقتران القوة

اشتقاق اقتران القوة

التعريف العام للمشتقة:

مشتقة الاقتران f بالنسبة إلى المتغير x هي $f\text{'}$ الذي قيمته عند x هي: $f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$ وبشرط وجود النهاية.

 

مثال: أجد مشتقة الاقتران $f\left(x\right)=x^2-1$ باستخدام التعريف العام للمشتقة عند x=2

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ f\text{'}\left(2\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(2+h)-f\left(2\right)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\left({\left(2+h\right)}^2-1\right)-3}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{4+4h+h^2-1-3}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{4h+h^2}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h(4+h)}{h}=4 \end{gathered}$$

ملاحظة: يمكن استعمال التعريف العام للمشتقة لإيجاد اقتران جديد يمثل مشتقة الاقتران الأصلي

مثال: أجد مشتقة الاقتران  $y= x^3-2$  باستعمال التعريف العام للمشتقة.

$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\left({\left(x+h\right)}^3-2\right)-\left(x^3-2\right)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{x^3+3h{x}^2+3h^{2}x+h^3-2-x^3+2}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}\frac{h\left(3x^2+3hx+h^2\right)}{h} \\ =\underset{h\to 0}{lim}3x^2+3hx+h^2 \\ =3x^2 \end{gathered}$$

مشتقة اقتران القوة:

$$يسمى الاقتران $f\left(x\right)=x^n$ حيث n عدد حقيقي باقتران القوة ويمكننا إيجاد مشتقته باستخدام التعريف العام للمشتقة ولكن يكون صعباً في بعض الأحيان لذلك توجد بعض القواعد التي تسهل عملية إيجاد المشتقة ومنها مشتقة اقتران القوة.

عند اشتقاق الاقتران $y=x^n$، حيث n عدد حقيقي؛ فإن قوة x في المشتقة تكون أقل بواحد من قوة x في الاقتران الأصلي، ويكون معامل x في المشتقة مساويا لقوة x في الاقتران الأصلي. إذا كان $y=x^n$ حيث n عدد حقيقي؛ فإن $\frac{dy}{dx}=n{x}^{n-1}$.

مثال: أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$1) y= \frac{1}{x^2}$

$$\begin{gathered} y=\frac{1}{x^2}=x^{-2} \\ \frac{dy}{dx}=-2x^{-2-1}=-2x^{-3}=\frac{-2}{x^3} \end{gathered}$$

$2) y= x^{\frac{3}{4}}$

$\frac{dy}{dx}=\frac{3}{4}{x}^{\frac{3}{4}-1}=\frac{3}{4}{x}^{-\frac{1}{4}}=\frac{3}{4x^{{\displaystyle \frac{1}{4}}}}$

$3) y=\sqrt[3]{x}$

$$\begin{gathered} y=\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}{x}^{\frac{1}{3}-1}=\frac{1}{3}{x}^{\frac{-2}{3}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \end{gathered}$$

ملاحظة: توجد هناك بعض القواعد التي تساعد عملية إيجاد مشتقة الاقترانات التي تحوي على أكثر من حد من اقترانات القوة منها:

مشتقة الثابت: إذا كان y=c حيث c عدد حقيقي؛ فإن $\frac{dy}{dx}=0$، أي إن مشتقة الثابت تساوي صفرا. مشتقة مضاعفات القوة: إذا كان $y=a{x}^n$، حيث n عدد حقيقي؛ فإن $\frac{dy}{dx}=an{x}^{n-1}$ مشتقة المجموع أو الفرق: إذا كان $y=u\pm v$، حيث u و v اقترانا قوة؛ فإن $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}\pm \frac{dv}{dx}$.

مثال: أجد مشتقة كل اقتران مما يأتي:

$1) y = x^2-3\sqrt{x}$

$$\begin{gathered} y=x^2-3x^{\frac{1}{2}} \\ \frac{dy}{dx}=2x-3\left(\frac{1}{2}\right)x^{\frac{1}{2}-1} \\ =2x-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{1}{2}} \\ =2x-\frac{3}{2\sqrt{x}} \end{gathered}$$

$2) y = \frac{2x +4}{x}$

$$\begin{gathered} y=\frac{2x}{y}+\frac{4}{x} \\ y=2+4x^{-1} \\ \frac{dy}{dx}=-4x^{-1-1} \\ =-4x^{-2} \\ =\frac{-4}{x^2} \end{gathered}$$

مثال: 

إذا كانت المسافة بالأمتار التي قطعها عداء في 5 ثوان تعطى بالاقتران $f\left(t\right)=10t^{\frac{3}{2}}-3t^2$، حيث t الزمن بالثانية. أجد سرعة العداء بعد 3 ثوان من بدء حركته.

السرعة هي مشتقة اقتران المسافة، والمطلوب إيجاد السرعة عندما t=3

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=10\times \frac{3}{2}{t}^{\frac{1}{2}}-3\times 2t \\ =15\times \sqrt{t}-6t \\ f\text{'}\left(3\right)=15\times \sqrt{3}-6\left(3\right) \\ \approx 7.98 \end{gathered}$$

إذن: سرعة العداء بعد 3 ثوان من بدء حركته هي 7.98m/s تقريبا.

معادلة المماس والعمودي على المماس عند نقطة:

بالنظر للشكل المرفق يمكننا تمييز المماس والعمودي عليه حيث أن المماس هو المستقيم المرسوم باللون الأخضر والعمودي عليه هو المستقيم المرسوم باللون الأزرق

ولإيجاد معادلة كل منهما عند نقطة معينة نتبع الخطوات الآتية:

1) نجد ميا المماس من خلال إيجاد مشتقة الاقتران وتعويض النقطة فيها

2)نجد معادلة المماس من خلال تعويض الميل والنقطة في المعادلة $y-y_1= m(x-x_1)$ حيث m هي الميل $\left(x_{1 }, y_1\right)$ هي النقطة المطلوب إيجاد معادلة المماس عندها

3)نجد معادلة العمودي على المماس من خلال تعويض الميل والنقطة في المعادلة $y-y_1= \frac{-1}{m}(x-x_1)$

مثال: إذا كان الاقتران $y = x^2-\frac{1}{2}x$ فأستعمل المشتقة لإيجاد كل مما يأتي:

1) معادلة المماس عند النقطة $\left(1, 1\right)$

$y=x^2-\frac{1}{2}x$

1) نجد المشتقة:

$\frac{dy}{dx}=2x-\frac{1}{2}$

2) نعوض النقطة (1,1) في المشتقة لإيجاد الميل.

$m=\frac{dy}{dx}{|}_{x=1}^{}=2\left(1\right)-\frac{1}{2}=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

3) نعوض الميل والنقطة المعطاة في المعادلة

$$\begin{gathered} y-y_1=m\left(x-x_1\right) \\ y-1=\frac{3}{2}\left(x-1\right) \\ y-1=\frac{3}{2}x-\frac{3}{2} \\ y=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

2) معادلة العمودي على المماس عند النقطة $\left(1 , 1\right)$

1) نجد ميل العمودي ويساوي $\frac{-1}{m}$.

$\frac{-1}{{\displaystyle \frac{3}{2}}}=\frac{-2}{3}$

2) نعوض ميل العمودي والنقطة في المعادلة.

$$\begin{gathered} y-y_1=\frac{-1}{m}\left(x-x_1\right) \\ y-1=-\frac{2}{3}\left(x-1\right) \\ y-1=-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3} \\ y=-\frac{2}{3}x+\frac{5}{3} \end{gathered}$$