استعمال جيب الزاوية لايجاد مساحة المثلث.

• تعلمت سابقا كيفية حساب مساحة المثلث بضرب نصف طول قاعدته في ارتفاعه،
• غير أنه يتعذر استعمال هذه الطريقة إذا كان الارتفاع مجهولا،
• لذا يمكن استخدام النسب المثلية في إيجاد قانون آخر لحساب مسافة المثلث باستعمال أطوال أضلاعه وقياسات زواياه.

ففي الشكل المجاور،نلاحظ أن $BD$ هو ارتفاع المثلث $ABC$،وأنه عمودي على القاعة $AC$.فإذا كان:$BD=hو،AC=b$،فإن مساحة هذا المثلث  هي:

$$\begin{gathered} K=\frac{1}{2}AC\times BD \\ =\frac{1}{2}bh \end{gathered}$$

نلاحظ أيضا من المثلث $BDC$ ما يأتي:

$$\begin{gathered} \sin C=\frac{h}{a} \\ h=a \sin C \\ K=\frac{1}{2}b\left(a \sin C\right) \\ =\frac{1}{2}ab \sin C \end{gathered}$$

يمكن رسم العمود من الرأس $A$ إلى الضلع الذي يقابله $BC$،ومن الرأس $C$ إلى الضلع الذي يقابله  $AB$،لبيان أن مساحة هذا المثلث تساوي $\frac{1}{2}ac \sin B$،وأنها تساوي أيضا $\frac{1}{2}bc \sin A$

مفهوم أساسي 

مساحة المثلث تساوي نصف ناتج ضرب طولي أي ضلعين فيه مضروبا في جيب الزاوية المحصورة بينهما:

$K=\frac{1}{2}bc \sin A K=\frac{1}{2}ac \sin B K= \frac{1}{2}ab \sin C$

---

مثال

أجد مساحة المثلث $ABC$ بالوحدات المربعة في الشكل المجاور

$$\begin{gathered} K=\frac{1}{2}ab \sin C \\ =\frac{1}{2}\times 8\times 6 \sin 30° \\ =12 \end{gathered}$$

تعلمت في المثال السابق كيف أجد مساحة مثلث علم فيه طولا ضلعين، وقياس الزاوية المحورة بينهما،وسأتعلم الآن كيفية حساب مثلث علمت فيه أطوال أضلاعه الثلاثة

---

مثال 

أجد مساحة المثلث $ABC$ في الشكل المجاور

يتعين أولا إيجاد قياس إحدى الزوايا باستعمال قانون جيوب التمام،ثم حساب المساحة.إذن،استعمل قانون جيوب التمام قياس الزاوية $C$:

$$\begin{gathered} \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \\ =\frac{{13}^2+{19}^2-8^2}{2\times 13\times 19} \\ =0.9433 \\ C={\cos }^{-1}0.9433=19.4° \end{gathered}$$

أطبق قانون المساحة:

$$\begin{gathered} K=\frac{1}{2}ab \sin C \\ =\frac{1}{2}\times 13\times 19\times \sin 19.4° \\ =41.0c{m}^2 \end{gathered}$$

---

مثال:من الحياة 

المسافة بين عمان والأزرق $103km$،وبين عمان والمفرق $70km$،وبين المفرق والأزرق $98km$.أجد مساحة المثلث الذي تقع عند رؤوسه هذه المدن الثلاث

الخطوة 1:إيجاد قياس إحدى الزاويا،ولتكن $B$،باستعمال قانون جيوب التمام

$$\begin{gathered} \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \\ =\frac{{98}^2+{70}^2-{103}^2}{2\times 98\times 70} \\ =0.2839 \\ B={\cos }^{-1}\left(0.2839\right)=73.5° \end{gathered}$$

الخطوة 2:تطبيق قانون المساحة

$$\begin{gathered} K=\frac{1}{2}ac \sin B \\ =\frac{1}{2}\times 98\times 70\times \sin 73.5° \\ =3288.8k{m}^2 \end{gathered}$$

---

---