احتمالات الحوادث المتنافية

• يسمى الحادث الواحد (مثل وصول الباخرة الأولى في موعدها) الحادث البسيط ،أما الحادث المركب فيتكون من حادثين بسيطين أو أكثر، مثل وصول  إحدى الباخرتين على الأقل في موعدها 

 

• إذا كان (A) و (B) حادثين في تجربة عشوائية، فإنهما يسميان حادثين متنافيين ؛ إذا تعذر وقوعهما معا في الوقت نفسه. ويقصد بالمتنافيين عدم وجود عناصر مشتركة بينهما 

مثال 

أحدد إذا كان الحادثان متنافيين أم لا في ما يأتي، مبرر إجابتي: 

1) التجربة هي لعبة كرة القدم. الحادث الأول هو الفوز في المباراة، والحادث الثاني هو الخسارة

الحادثان متنافيان، لأنه لا يمكن الفوز والخسارة في الوقت نفسه. 

2) التجربة هي إلقاء حجر نرد منتظم. الحادثان هما الحصول على عدد زوجي، أو الحصول على عدد أقل من 3

الحادثان غير متنافيين؛ نظرا إلى وجود عنصر مشترك بينهما، هو العدد 2، وهذا العدد زوجي، وأقل من 3 في الوقت نفسه 

---

• تعرفت سابقا أن تقاطع حادثين في تجربة  عشوائية  يعني وقوعهما معا، ويستدل على ذلك من أداة الربط(وَ: and) أو الرمز($\mathbf{\cap }$)

 

• وأن اتحاد حادثين يعني وقوع أحدهما على الأقل، ويستدل على ذلك من أداة الربط(أو:or) أو الرمز($\mathbf{\cup }$).

 

• فإذا كان (A) و (B)  حادثين متنافيين، فإن احتمال وقوعهما معا يساوي صفرا، واحتمال وقوع أحدهما على الأقل$P\left(A\cap B\right)$ يساوي صفرا،واحتمال وقوع على الأقل $P(A\cup B)$ يساوي مجموع احتمالي وقوعهما 

---

مفهوم أساسي 

• بالكلمات: إذا كان (A) و (B) حادثين متنافيين في تجربة عشوائية، فإن احتمال وقوعهما معا يساوي صفرا، واحتمال وقوع أحدهما على الأقل يساوي مجموع احتمالي وقوعهما 

 

• بالرموز: إذا كان (A) و (B) حادتين متنافيين، فإن: 

                                $$\begin{gathered} P(A and B)=P(A\cap B)=0 \\ P(A or B)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right) \end{gathered}$$

---

 مثال 

في تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرة واحدة، أجد ما يأتي: 

1) احتمال ظهور العدد 1، وظهور عدد زوجي 

أفترض أن (A) هو حادث ظهور العدد 1، و (B) هو حادث ظهور عدد زوجي. إذا A={1}, B={2,4,6}

بما أن $\mathbf{\left\{}\mathbf{1}\mathbf{\right\}}\mathbf{ }\mathbf{\cap }\mathbf{ }\mathbf{\{}\mathbf{2}\mathbf{,}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{6}\mathbf{\}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{\varphi }$، فإن(A) و (B) حادثان متنافيان.

إذا، احتمال وقوعهما معا هو صفر. وبالرموز: $P(A and B)=P(A\cap B)=0$

2) احتمال ظهور العدد 1، أو ظهور عدد زوجي .بما أن (A) و (B) حادثان متنافيان، فإن احتمال وقوع (A) و (B)(وقوع أحدهما على الأقل) يساوي مجموع احتمالي وقوعهما. وبالرموز: 

$$\begin{gathered} \mathit{P}\mathbf{(}\mathit{A}\mathbf{ }\mathit{o}\mathit{r}\mathbf{ }\mathit{B}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{(}\mathit{A}\mathbf{\cup }\mathit{B}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{A}\mathbf{\right)}\mathbf{+}\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{B}\mathbf{\right)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{6}} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}} \end{gathered}$$

---

• لاحظت في المثال الأول أن حادثي الحصول على عدد زوجي أو عدد أقل من 3 عند إلقاء حجر نرد منتظم هما غير متنافيين؛ نظرًا لوجود عنصر مشترك بينهما ، هو العدد 2 ، وهذا العدد زوجي ، و أقل من 3 ، فكيف أجد احتمال وقوع أحدهما على الأقل ؟ 

إذا كان (A)  حادث الحصول على عدد زوجي و ( B) حادث الحصول على عدد أقل من 3 ، في تجربة إلقاء حجر نرد منتظم مرة واحدة ، فإنه يمكن تمثيل هذين الحادثين باستعمال أشكال فن كما يأتي : 

• عند حساب احتمال كل حادث على حدة ، أجد أن : 

$$\begin{gathered} \mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{A}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{6}} \\ \mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{B}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{6}} \end{gathered}$$

• عند إيجاد احتمال وقوع أحد الحادثين على الأقل ، وجمع هذين الاحتمالين ، فإن احتمال العدد 2 سيتكرر ؛ لأنه موجود في الحادثين ( موجود في منطقة التقاطع بين الحادثين ) ، ولذلك يجب طرحه من مجموع الاحتمالين : 

$$\begin{gathered} P( A \cup B) = P\left(A\right) + P\left(B\right) - P ( A \cap B ) \\ = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \end{gathered}$$

---

مفهوم أساسي

• بالكلمات : إذا كان (A) و (B ) حادثين غير متنافيين في تجربة عشوائية ، فإن احتمال وقوع أحدهما على الأقل يساوي مجموع احتماليهما ، مطروحًا منه احتمال وقوع (A) و (B) معًا 

 

•   بالرموز : إذا كان (A) و (B) حادثين غير متنافيين ، فإن : 

         $\mathit{P}\mathbf{ }\left( A or B\right)\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{ }\left( A \cup B\right)\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{A}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{B}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{A}\mathbf{\cap }\mathit{B}\mathbf{)}$

---

مثال 

يحتوي صندوق على 15 بطاقة مرقمة من 1 إلى 15 ، إذا سحبت بطاقة عشوائيًا ، فأجد احتمال الحادثين الآتيين : 

1. أن يكون العدد على البطاقة من مضاعفات العدد 3 ، ومن عوامل العدد 12 

أفترض أن M هو حادث اختيار عدد من مضاعفات العدد 3 

و F هو حادث اختيار عدد من عوامل العدد 12 

أداة الوصل ( و) في السؤال تشير إلى أن المطلوب هو تقاطع الحادثين M و F .

يمكن استعمال أشكال فن لتحديد عدد العناصر المشتركة بين الحادثين كما في الشكل الآتي : 

$\mathit{P}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{M}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathit{a}\mathit{n}\mathit{d}\mathbf{ }\mathit{F}\mathbf{ }\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{M}\mathbf{\cap }\mathbf{ }\mathit{F}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{15}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}$

 

2. أن يكون العدد على البطاقة من مضاعفات العدد 3 أو من عوامل العدد 12 

أداة الوصل (أو) في السؤال تشير إلى أن المطلوب هو اتحاد الحادثين غير المتنافيين M و F  اللذيم في الفرع السابق .

وهذا يعني احتمال وقوع أحدهما على الأقل ( احتمال اتحدهما ) : 

$$\begin{gathered} \mathit{P}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{M}\mathbf{ }\mathit{o}\mathit{r}\mathbf{ }\mathit{F}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{M}\mathbf{ }\mathbf{\cup }\mathbf{ }\mathit{F}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{M}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{F}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{(}\mathbf{ }\mathit{M}\mathbf{ }\mathbf{\cap }\mathbf{ }\mathit{F}\mathbf{)} \\ \mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{5}}{\mathbf{15}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{+}\frac{\mathbf{6}}{\mathbf{15}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{15}}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{15}} \end{gathered}$$

---

• يحتوي الحادث المتمم للحادث A ، لأي تجربة عشوائية ، على جميع عناصر فضاء العينة الموجودة في الحادث A ويرمز لها بالرمز $\overline{\mathbf{A}}$

تمثل المنطقة الزرقاء في شكل فن المجاور $\overline{A}$ بوصفها جزءًا من فضاء العينة .

فمثلًا ، عند إلقاء حجر نرد إذا كان الحادث A هو الحصول على العدد 5 ، فإن : 

$$\begin{gathered} \mathit{A}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\left\{5 \right\} \\ \overline{\mathbf{A}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\left\{1 , 2 , 3 , 4 , 6\right\} \end{gathered}$$

لذا ، فإن : 

$\mathit{P}\mathbf{ }\left( \overline{A} \right)\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{P}\left( A\right)\mathbf{ }$

 

مفهوم أساسي 

• بالكلمات : احتمال وقوع متممة الحادث A هو 1 ناقص احتمال وقوع الحادث A

 

• بالرموز : لأي حادث A في تجربة عشوائية ، فإن : 

$\mathit{P}\mathbf{ }\left( \overline{A } \right)\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{A}\mathbf{\right)}$

مثال 

جوائز : نالت خلود جائزة الطالبة المثالية في الصف العاشر ، وطلب إليها أن تسحب جائزتها عشوائيًا من صندوق يحتوي على 9 ساعات سوداء ، و 5 ساعات زرقاء ، و 8ساعات حمراء . ما احتمال عدم اختيار خلود ساعة حمراء ؟ 

إذا كان A هو حادث الحصول على ساعة حمراء ، فإن المطلوب هو $P ( \overline{A} )$

$\mathit{P}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ }\overline{\mathbf{A}}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\mathit{P}\mathbf{\left(}\mathit{A}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{8}}{\mathbf{22}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{14}}{\mathbf{22}}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\frac{\mathbf{7}}{\mathbf{11}}$

---