أشكال الانتشار

يتعين علينا في كثير من المواقف الحياتية استكشاف العلاقة بين مجموعتين من البيانات، ووصف هذه العلاقة. ومن الأمثلة على ذلك:

• طول الإنسان ومعدل نبضات قلبه 
• تحصيل الطلبة في الرياضيات وتحصيلهم في العلوم 

شكل الانتشار: هو تمثيل بياني يوضع العلاقة (إن وجدت) بين مجموعتين من البيانات، وتظهر فيه نقاط تمثل بيانات المجموعتين بوصفها أزواجا مرتبة (x, y) في  المستوى الإحداثي، إذ تمثل بيانات المتغير x على المحور الأفقي الموجب، وتمثل بيانات المتغير y على المحور  الرأسي الموجب 

الارتباط : هو وصف العلاقة بين مجموعتي البيانات. وقد يكون الارتباط موجبا ، أو سالبا، أو قويا، أو ضعيفا، كما في أشكال الانتشار الآتية: 

• من الملاحظ أنه كلما كان الارتباط موجبا قويا تجمعت النقاط في شكل الانتشار حول مستقيم ميله موجب، وأنه كلما كان الارتباط سالبا قويا تجمعت النقاط في شكل الانتشار حول مستقيم ميله سالب 
• أما إذا كان الارتباط ضعيفا (أو لا يوجد ارتباط)، فإن النقاط في شكل الانتشار تكون متناثرة ومتباعدة كما في شكل الانتشار المجاور، الذي يظهر العلاقة بين تحصيل مجموعة من الطلبة في مادة الرياضيات والزمن الذي استغرقه كل منهم في الجري مسافة 800m 

مثال 

هل يوجد ارتباط بين بيانات المتغيرين الممثلين في كل من شكلي الانتشار الآتيين؟ في حالة وجود ارتباط بينها، هل هو موجب أم سالب؟ هل هو قوي أم ضعيف؟ 

يظهر شكل الانتشار المجاور العلاقة بين سعر الإجاص وكميته المبيعة. وبناءِ على توزيع النقاط في هذا الشكل، فإن كمية الإجاص المبيعة كانت قليلة عندما كان سعره مرتفعا، والعكس صحيح. وهذا يشير إلى وجود ارتباط سالب، ولأن نقاط شكل الانتشار متقاربة، فهو قوي 

يظهر شكل الانتشار المجاور العلاقة بين درجة الحرارة ومبيعات إحدى الصحف. ومن الملاحظ أنه لا يوجد ارتباط أو علاقة واضحة بين درجات الحرارة ومبيعات الصحيفة؛ لأن نقاط شكل الانتشار متباعدة 

عند تمثيل مجموعتين من البيانات بمتغيرين مثل (x)و(y)، يمكن تمثيل شكل الانتشار يدويا، أو باستعمال برمجية جيوجبرا، وذلك بتعيين نقاط شكل الانتشار بوصفها أزواجا مرتبة (x,y)؛ لأتمكن من وصف الارتباط (إن وجد) 

مثال 

أمثل البيانات في الجدول الآ تي على شكل انتشار، ثم أصف الارتباط بين المتغيرين (x)و(y): 

أعين الأزواج المرتبة في المستوى الإحداثي كما في الشكل المجاور 

• بالنظر إلى شكل الانتشار، يالاحظ وجود ارتباط موجب قوي بين المتغيرين (x)و(y)؛ لأنه كلما زادت قيمة (x) في أغلب الحالات زادت قيمة (y)؛ أي كلما زادت مدة الاستحمال لشخص ما زادت كمية المياه التي يستهلكها 
• المستقيم الأفضل مطابقة : هو مستقيم يمر بأكبر عدد من نقاط شكل الانتشار، بحيث يكون عدد النقاط التي لا يمر بها متساويا (تقريبا) على جهتيه، وتكون أقصر المسافات بينه وبين النقاط التي لا يمر بها متساوية (تقريبا) 

مثال 

اعتمادا على شكل الانتشار المجاور الذي يمثل علامات اختبار الرياضيات وعلامات اختبار  العلوم لمجموعة من الطلبة، أجيب عن الأسئلة الآتية: 

1) أرسم المستقيم الأفضل مطابقة للبيانات الممثلة في شكل الانتشار 

أرسم المستقيم الأفضل مطابقة باستعمال المسطرة كما في الشكل المجاور 

ألاحظ أن الارتباط بين المتغيرين موجب وقوي 

2) علامة طالب في اختبار الرياضيات 75، لكنه غاب عن اختبار العلوم بسبب مرضه. أستعمل المستقيم الأفضل مطابقة الذي رسمته لتقدير علامته المحتملة في مادة العلوم 

أقدر علامة الطالب في مادة العلوم برسم مستقيم رأسي، بدءا بالعلامة 75 على المحمور الأفقي حتى يلتقي بالمستقم الأفضل مطابقة. ومن نقطة التقاطع أرسم مستقيما أفقيا، وصولا إلى المحمور الرأسي، فأقدر علامته بنحو 72 كما في الشكل المجاور 

3) أجد معادلة المستقيم الأفضل مطابقة 

يمكن إيجاد معادلة المستقيم إذا علمت إحداثيات أي نقطتين يمر بهما، ولتكن (53,53)و(95,90): 

$$\begin{gathered} y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\left(x-x_1\right) \\ y-53=\frac{90-53}{95-53}\left(x-53\right) \\ y=0.88x+6.36 \end{gathered}$$

من المحاذير التي يجب التنبه لها، استعمال شكل الانتشار لعمل استنتاجات؛ فشكل الانتشار يكون مفيدا فقط ضمن مدى القيم المعطاة. أما في حال الجروج عن هذا المدى فقد تكون الاستنتاجات مضللة، أو غير منطقية 

مثال 

يمثل شكل الانتشار المجاور  الأزمنة المدونة لصاحب المركز الأول في سباق 100m للرجال في عدد من دورات الألعاب الأولمبية. أستعمل المستقيم الأفضل مطابقة المعطى في الشكل لتقدير الزمن الذي سيحققه صاحب المركز الأول في السباق للدورة التي ستقام عام 2020م 

هل يمكن تقدير الزمن الذي سيحققه صاحب المركز الأول في السباق للدورة التي ستقام عام 2038م؟ 

إذا استعملت المستقيم الأفضل مطابقة، فأقدر الزمن المستغرق لقطع مسافة السباق بنحو 9.5 ثوان دورة عام 2020م، ولكن هذا التقدير لا ينطبق على الدورات الأولمبية التالية الخارجة عن مدى القيم المعطاة؛ فوفقا لهذا التقدير، يتوقع استمرار انخفاض الزمن المستغرق لقطع مسافة السباق إلى 9 ثوان، و8.5 ثوان، 8 ثوان،...،وهكذا حتى الوصول إلى دورة لن يحتاج فيها المتسابقون إلى زمن لقطع مسافة السباق التي طولها 100m، وهذا غير منطقي 

---